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zzrqyr

银虫 (小有名气)

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[求助] 求助数学专业的大神们

大家好，下面有道题，大家帮忙证明一下，小弟先在此感谢各位了！

2014-11-14_175444.jpg

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和大家一起学习交流

1楼2014-11-14 18:07:29

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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看看下面一个具体的例子：

$f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}$

则有对于 $x>0$ ，恒有 $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1$
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我们有

$g(t)=\sup\limits_{0<x<t}f(x)=+\infty$

那么怎么理解表达式：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{g(tx)}{g(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{+\infty}{+\infty}=1?$

无穷与无穷的比不是未定式吗？怎么排除此种情况？

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zzrqyr

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-11-15 03:03:59

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一个具体的例子：
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
则有对于x>0，恒有\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我们有
g(t)=\ ...

未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 $g(t)=sup_{0<x<t} f(x)$ 是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑 $\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.$ ). 当x>1时,明显 $\frac{g(xt)}{g(t)}\geq 1$

任给t 与固定的x>1, 设g(tx)=f(T). 如果T<t, 那么 g(tx)=g(t), $\frac{g(xt)}{g(t)} = 1.$

如果 T=t*p,对某个 $1\leq p \leq x$ , 那么由于 $g(t)\geq f(\frac{tp}{x})$ , 有 $\frac{g(xt)}{g(t)}=\frac{f(tp)}{g(t)}\leq\frac{f(tp)}{f(\frac{tp}{x})}\leq sup_{\frac{t}{x}\leq y<\infty} \frac{f(yx)}{f(y)}$

由 $\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{f(xt)}{f(t)}=1$ 以及两边夹定理, 知道
$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{g(tx)}{g(t)}=1.$

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zzrqyr

We_must_know. We_will_know.

3楼2014-11-15 03:11:41

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Edstrayer

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

T=tx怎么会小于t，不是假定x>1吗？

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-11-15 03:19:00

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