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PreferenceforMathematics

2楼2014-11-10 13:51:43

匿名

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小虫

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3楼2014-11-10 14:31:17

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nagami

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【答案】应助回帖

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asimony: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-11-10 23:21:48

引用回帖:

3楼: Originally posted by asimony at 2014-11-10 14:31:17
你写的第一个小于等于0怎么来的？？？...

他这个做法，应该是考虑了最大值时，凹凸性与二阶导的关系。一维是正确的，高维一般是一个行列式的判别准则。
换一种做法，借鉴一些△u的性质来自（David Gilbarg · Neil S. Trudinger ，Elliptic Partial Differential Equations of Second Order ）
有界闭又连续，必然存在最大值，如果u为常数，这与题设矛盾。假设在内部（x0，y0）处有一最大值M>0，这个点与边界距离为d>0，做（x0，y0）的开领域{||（x，y）||<d/2,且u>M-ε,某ε>0}，此领域边界处u取不到最大值M,并严格包含于区域内部。
按照以上假定，在这个定义域上有△u>0严格成立,但△u的极值性质表明，它只可能在边界处取得。这与构造的矛盾。
这种做法其实不严格，但理解用还是可以的。

11.png

女靠衣装；男靠金装

4楼2014-11-10 19:06:09

iamsad

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这个好像是复变函数的定理。

5楼2014-11-10 23:02:34

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引用回帖:

3楼: Originally posted by asimony at 2014-11-10 14:31:17
你写的第一个小于等于0怎么来的？？？...

这个是根据次调和函数的极值原理得来的结论：

3.png

4.png

PreferenceforMathematics

6楼2014-11-10 23:27:45

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引用回帖:

6楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-10 23:27:45
这个是根据次调和函数的极值原理得来的结论：

3.png

4.png
...

引用定理5.1.3的逆否命题表述，就得出Δu(x_0,y_0)<=0了。

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7楼2014-11-10 23:29:57

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5楼: Originally posted by iamsad at 2014-11-10 23:02:34
这个好像是复变函数的定理。

这里的区域是二维的，所以可以用复变函数上解析函数的最大模原理来证明之，如5楼所言。不过更高维数就不适用了。

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8楼2014-11-11 00:15:09

终之太刀—晓

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4楼: Originally posted by nagami at 2014-11-10 19:06:09
他这个做法，应该是考虑了最大值时，凹凸性与二阶导的关系。一维是正确的，高维一般是一个行列式的判别准则。
换一种做法，借鉴一些△u的性质来自（David Gilbarg · Neil S. Trudinger ，Elliptic Partial Diffe ...

就是用虫友nagami图中下调和函数的极值原理推出Δu<=0成立，而不是根据二阶导与极值得关系推出的。

PreferenceforMathematics

9楼2015-04-04 11:32:33