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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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[求助] 遇到了一个积分，大家帮忙看看。已有2人参与

$\int \frac{d\Omega}{4 \pi}k_i k_j = \frac{k^2}{3}\delta_{ij}$

以下是我的理解
（1）坐标系是
$k, \theta (-\frac{\pi}{2} \;to \; \frac{\pi}{2}), \phi (0\; to \;2\pi)$ .
（2） $d \Omega$ 是单位立体角。 $d \Omega = \sin \theta d\theta d\phi$
（3）如果我们计算
$\int \frac{d\Omega}{4 \pi}k_z k_z=\frac{1}{4\pi} \int k^2 \cos^2 \theta \sin \theta d \theta d\phi$
这不就是零吗？

我不懂了，求帮助。

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1楼 2014-06-29 13:57:27

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racoon01

专家顾问 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

原始的积分从对称性角度可以一眼看出，当然也可以通过你后来的给出的计算来验证。

你的最后一式没有写完整，那个结果不是零，而是k^2/3，正是原式在i=j=z时的特例。

racoon

2楼2014-06-29 14:48:43

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zhengyongyb

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
十点钟的咖啡: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 学高数的时候打游戏去了。出来混早晚是要还的。 2014-06-29 16:18:31

你坐标系取值范围错了，theta应该从0到pi.

3楼2014-06-29 15:11:35

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老张先生

铜虫 (小有名气)

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积分结果为1/4pi.k^2.4pi/3=k^2/3,结论正确。

人生苦短，世态炎凉。

4楼2014-06-30 10:07:52

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xingye_guang

新虫 (初入文坛)

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（3）有错：k^2 costh sinth^2 dth dfa

5楼2014-07-01 18:06:48

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