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pakchoi

木虫 (小有名气)

[求助] 级数求和求助 已有3人参与

求大神帮忙求解下下面的级数求和，多谢了！

级数求和求助
1.png
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1楼 2014-06-26 22:10:32
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
pakchoi: 金币+50, ★★★★★最佳答案 2014-06-27 08:36:32
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-27 08:18:29
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
   =1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}
因为e^=SUM{^m/m!,m=1~∞}
                     =SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/ ...

更正：
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
   =1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}

因为e^[sqrt(x)]=SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=0~∞}
          =1+SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=1~∞}
          =1+SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}={e^[sqrt(x)]-1}/sqrt(x)
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6楼2014-06-27 08:26:45
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普通回帖

liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
sh(sqrt(x))/sqrt(x)
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2楼2014-06-26 23:02:24
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

[latex]\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(2n-1)!}=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-06-27 04:44:11
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-06-27 04:46:12
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
   =1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}
因为e^[sqrt(x)]=SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=1~∞}
                     =SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=e^[sqrt(x)]/sqrt(x)
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5楼2014-06-27 08:18:29
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-27 08:26:45
更正：
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
   =1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}

因为e^=SUM{^m/m!,m=0~∞}
          =1+SUM{^m/m!,m=1~∞}
          =1+SUM{x^ ...

多谢了，看来还是自己没动脑筋~
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7楼2014-06-27 08:35:37
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-27 08:26:45
更正：
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
   =1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}

因为e^=SUM{^m/m!,m=0~∞}
          =1+SUM{^m/m!,m=1~∞}
          =1+SUM{x^ ...

刚发现一个问题，做这个代换m=2n-1时，m只能取奇数，所以下面变换成e指数时，是有些问题的。
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8楼2014-06-27 09:19:31
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蟑螂小强2005

新虫 (小有名气)
这个是套用初等函数的幂级数展开式，正弦函数～

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9楼2014-06-27 09:39:02
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 04:46:12
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(2n-1)!}=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

能不能给出详细的计算过程？
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10楼2014-06-27 09:48:00
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