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orange_10

铜虫 (小有名气)

[求助] 急求高手！！！chebyshev和legendre级数展开

chebyshev多项式的定义是：cos(nx)=Tn(cosx)

我想要把cos(nx)用legendre多项式Pn(cosx)做级数展开，求展开系数。

过程可能比较复杂，我觉得前人应该有相关的工作了，可我找了好久都没有头绪，急求数学高手帮助！！

具体公式在附件图片里。 在这先谢过啦！~O(∩_∩)O~
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每天进步一点点
1楼 2011-07-14 00:04:25
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jfili

金虫 (正式写手)
★
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-07-14 16:11:57
你是想把 cosnx 展开成Legendre级数？还是想把已知Chebyshev级数的系数求出Legendre级数？还是想了解Legendre多项式的研究现状？
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2楼2011-07-14 07:31:44
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jinbo7

铁杆木虫 (正式写手)

山寨王
路过看看
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3楼2011-07-14 08:15:57
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orange_10

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-14 07:31:44:
你是想把 cosnx 展开成Legendre级数？还是想把已知Chebyshev级数的系数求出Legendre级数？还是想了解Legendre多项式的研究现状？

是想把 cosnx 展开成Legendre级数 求展开级数m  求指教~~~~

偶不是数学专业的 真是头大了。。。
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每天进步一点点
4楼2011-07-14 12:03:25
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
小雨萌萌(金币+2): 3Q 2011-07-14 16:12:10
其实很简单，找到Legendre的母函数g1(x),g2(x),g3(x),g4(x)...，它们其实是L^2函数的一线正交基，将其单位化就得到标准正交基e1(x),e2(x),e3(x),e4(x)，在这组基下的的系数就是f(x)与作内积，也就是an=\int f(x)*en(x)，所以得到级数
\sum_n an*en(x)，再代换成原来的母函数下的表达式就是你所要求得的系数

我的印象中Legendre的母函数在教科书中是有的，只是表达式有些复杂而已
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5楼2011-07-14 13:53:45
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orange_10

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-14 13:53:45:
其实很简单，找到Legendre的母函数g1(x),g2(x),g3(x),g4(x)...，它们其实是L^2函数的一线正交基，将其单位化就得到标准正交基e1(x),e2(x),e3(x),e4(x)，在这组基下的的系数就是f(x)与作内积，也就是an=\int f(x)* ...

谢谢您啊~O(∩_∩)O~

您刚说的母函数是下面图片里的这些吧

这种方法是要手算么？假如我要展开到20项或以上 手算就不大现实了啊。。。

有没有现成的 或 相近的资料能参考呢？~

还有呀 你看chebyshev就能等于cos(nx)了： cos(nx)=Tn(cos x)

我能不能从chebyshev和legendre这两个多项式的联系和差异之间 较简便的算出我想算的展开系数m呢？
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每天进步一点点
6楼2011-07-14 15:19:24
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orange_10

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-14 13:53:45:
其实很简单，找到Legendre的母函数g1(x),g2(x),g3(x),g4(x)...，它们其实是L^2函数的一线正交基，将其单位化就得到标准正交基e1(x),e2(x),e3(x),e4(x)，在这组基下的的系数就是f(x)与作内积，也就是an=\int f(x)* ...

您这个方法我也考虑过 要把cos(nx)变为cosx的表达式 才好这么算

这样做积分的难度就更大了，展开系数一大，手算就更难。。。

苦恼呀
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每天进步一点点
7楼2011-07-14 16:03:27
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
nono2009(金币+2): 鼓励应助 2011-07-22 19:47:02
\int cos x x^m，当m是整数的时候求得不定积分并不难的
而对于\ int cos nx x^m，只需做个变换，令y=nx就化成上面的形式了，难度并没有增大的
如果还怕麻烦就用常用的计算软件来算
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8楼2011-07-14 17:19:49
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orange_10

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-14 17:19:49:
\int cos x x^m，当m是整数的时候求得不定积分并不难的
而对于\ int cos nx x^m，只需做个变换，令y=nx就化成上面的形式了，难度并没有增大的
如果还怕麻烦就用常用的计算软件来算

呀 请问有哪些常用软件呢  我需要计算大量的值 手算不大可能的
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每天进步一点点
9楼2011-07-14 19:14:43
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

orange_10(金币+8): 很遗憾不是我想要的。。。 还是谢谢啊 2011-07-23 15:41:23
相关文献  SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 31, No. 6 (Dec., 1994), pp. 1519-1534
The Chebyshev-Legendre Method: Implementing Legendre Methods on Chebyshev Points. 不过里头是把Legendre多项式展成Chebyshev多项式
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10楼2011-07-15 21:45:27
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