应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一个级数求和的问题？
131/2返回列表12下一页
查看: 2410  |  回复: 12
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看
【有奖交流】积极回复本帖子，参与交流，就有机会分得作者 Edstrayer 的 15 个金币

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个级数求和的问题？

设是素数：试证：
回复此楼

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

大学数学习题汇刊专辑

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-20 01:51:44
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
11楼: Originally posted by 数学老学徒 at 2015-10-16 19:49:44
数学重要的是找到漂亮的联系，回到本原。

谢谢啊，数学的本质是能够尽可能简单地找到隐藏在繁杂的数字与形式之中的规律，…………找到漂亮完美的联系是一种手段和方法，………………与君共勉。
赞一下(1人) 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
12楼2015-10-17 07:26:27
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
设是素数，试证：



设是素数，试证：
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-04-20 07:39:57
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由n的条件知 c^n 不等于 1 (mod p). 然而
Sum_{1<= k <= p-1} k^n = c^n Sum_{1<= k <= p-1} k^n (mod p)
所以Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

引理2: Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k

证明：好像是显然的，但讲不清楚， 略。

由引理1和引理2， 加上 3！=6 (mod p) 当 p>5时可逆， 所以命题成立
p |  Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk.
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
3楼2014-04-20 07:58:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-20 07:58:01
引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由 ...

好像引理2 不对， 改成
Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k - 2* Sum_{1<=k <= p-1} k^3
希望这次对的。

不过总感觉怪怪的， 好像什么都没说，只是捡了一个最软的柿子捏了捏 （指引理1），然后一路显然。。。
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
4楼2014-04-20 08:04:19
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
顶一个
回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-10-07 12:43:03
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
顶一个
回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2015-08-17 05:26:26
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, 很巧妙的证法，其实这几个题目也可以通过直接求和计算论证。 2015-08-19 07:41:36
引用回帖:
6楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-17 05:26:26
顶一个

我自己看了一下以前的回复, 不知所云. 数学不应该是这样的, 而是简单而深刻的.

我们可以把Edstrayer的题目推广, 然后就知道题目真正想问的是什么了.

设n>1, 正整数. f(x1,x2,...,xm)为m个变量的齐次对称函数. (对称指f(...,xi,..,xj,...)=f(...,xj,..,xi,..), 对任意, 奇次指存在k, 使得)

引理: 若, f(x1,x2,...,xm)为m个变量的次数为k的齐次对称函数, 那么对于与n互素的任意整数a, (即 (a,n)=1), 均有
, 其中求和取遍n的既约剩余系中m元的互异元素组.

证明: 定义而已.

求和针对所有的(x1,...,xm), xi互不相同, 与n互素. 那么(a*x1,..,a*xm) 同样满足a*xi依旧互不相同, 与n互素.  对所有的(a*x1,..,a*xm)求和,自然就. 加上f是齐次对称的, 引理成立.

利用这个引理, 当n=p素数, , , 立刻得到费马小定理:

当n=p素数, m=3, f(x1,x2,x3)=x1*x2*x3, 立刻得到 Edstrayer 的定理. (包括一楼,二楼的, 同时成立), 并且知道p=5时定理依然成立.
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
7楼2015-08-19 01:42:37
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-19 01:42:37
我自己看了一下以前的回复, 不知所云. 数学不应该是这样的, 而是简单而深刻的.

我们可以把Edstrayer的题目推广, 然后就知道题目真正想问的是什么了.

设n>1, 1\leq m \leq \phi(n) 正整数. f(x1,x2,..., ...

一楼的结果对p=5时不成立。事实上，我们有：


而38不是5的倍数。
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
8楼2015-08-19 08:00:03
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
8楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-19 08:00:03
一楼的结果对p=5时不成立。事实上，我们有：
\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant 4}ijk=1\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 3\cdot 4=38
而38不是5的倍数。...

一楼的结果对p=5时成立。事实上，我们有：



而50是5的倍数。
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
9楼2015-08-19 08:07:06
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

数学老学徒

金虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, 谢谢 2015-11-02 17:59:49
打一发酱油
一个级数求和的问题？



发自小木虫Android客户端
赞一下 回复此楼
未来属于开拓者
10楼2015-10-16 13:52:45
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 Edstrayer 的主题更新
131/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫 高级回复 (可上传附件)
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[教师之家] 延安大学回应“副教授留绝笔信”：确已离世，正核实举报内容 +3 yexuqing 2026-11-04 5/250 2026-11-07 13:22 by 苏东坡二世
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急 +3 2rKfVQg2jQww 2026-11-06 4/200 2026-11-07 10:03 by byEJ59EAM6hR
[考博] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +10 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 22/1100 2026-11-06 17:18 by 5sJFDKp2kwuI
[考博] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +6 ELBZ6WwEaRj6 2026-11-04 14/700 2026-11-06 16:32 by 5sJFDKp2kwuI
[公派出国] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +5 ttH3f1oA6ace 2026-11-04 10/500 2026-11-06 16:12 by 5sJFDKp2kwuI
[硕博家园] 售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +4 ttH3f1oA6ace 2026-11-04 11/550 2026-11-06 16:10 by 5sJFDKp2kwuI
[公派出国] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.5.4,科目齐全,可+急 +6 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 15/750 2026-11-06 13:49 by BkA9Bi5cMhkD
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.5.4,科目齐全,可+急 +7 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 14/700 2026-11-06 13:47 by BkA9Bi5cMhkD
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.54,科目全,可伽急 +8 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 14/700 2026-11-06 13:36 by BkA9Bi5cMhkD
[考研] 售SCI一区文章，我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +3 ELBZ6WwEaRj6 2026-11-04 10/500 2026-11-06 05:32 by qL1cU46YIdK0
[硕博家园] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3 ELBZ6WwEaRj6 2026-11-04 12/600 2026-11-06 05:32 by qL1cU46YIdK0
[考研] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +4 ttH3f1oA6ace 2026-11-04 14/700 2026-11-06 05:11 by qL1cU46YIdK0
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.5.4,科目齐全,可+急 +6 kvewwGtKktqB 2026-11-04 16/800 2026-11-06 05:00 by qL1cU46YIdK0
[公派出国] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 ELBZ6WwEaRj6 2026-11-04 9/450 2026-11-06 02:15 by qL1cU46YIdK0
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急 +4 ttH3f1oA6ace 2026-11-04 10/500 2026-11-06 02:04 by qL1cU46YIdK0
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急 +4 hNpp4Y2CGvSC 2026-11-04 12/600 2026-11-06 01:53 by qL1cU46YIdK0
[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +6 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 10/500 2026-11-06 01:51 by qL1cU46YIdK0
[考研] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +5 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 12/600 2026-11-06 01:42 by qL1cU46YIdK0
[教师之家] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.54,科目全,可伽急 +4 ncTVBM6AOJHF 2026-11-04 12/600 2026-11-05 11:10 by PYZmcHr5kSaq
[基金申请] 各位基础老师们，看完中央《从严治党》的决定后，对学术界更加有信心了吧 +5 iaeyuan 2026-11-01 5/250 2026-11-04 14:43 by jinchengzi
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭