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Edstrayer

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[交流] 一个级数求和的问题？

设是素数：试证：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-20 01:51:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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8楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-19 08:00:03
一楼的结果对p=5时不成立。事实上，我们有：
\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant 4}ijk=1\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 3\cdot 4=38
而38不是5的倍数。...

一楼的结果对p=5时成立。事实上，我们有：



而50是5的倍数。
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We_must_know. We_will_know.
9楼2015-08-19 08:07:06
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
设是素数，试证：



设是素数，试证：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-04-20 07:39:57
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由n的条件知 c^n 不等于 1 (mod p). 然而
Sum_{1<= k <= p-1} k^n = c^n Sum_{1<= k <= p-1} k^n (mod p)
所以Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

引理2: Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k

证明：好像是显然的，但讲不清楚， 略。

由引理1和引理2， 加上 3！=6 (mod p) 当 p>5时可逆， 所以命题成立
p |  Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-04-20 07:58:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-20 07:58:01
引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由 ...

好像引理2 不对， 改成
Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k - 2* Sum_{1<=k <= p-1} k^3
希望这次对的。

不过总感觉怪怪的， 好像什么都没说，只是捡了一个最软的柿子捏了捏 （指引理1），然后一路显然。。。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-04-20 08:04:19
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