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Edstrayer

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[交流] 一个级数求和的问题？

设 $p>5$ 是素数：试证：

$p\mid\left(\sum\limits_{1\leq i<i<k\leq p-1}ijk\right)$

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1楼2014-04-20 01:51:44

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hank612

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引理1：如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根（可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由n的条件知 c^n 不等于 1 (mod p). 然而
Sum_{1<= k <= p-1} k^n = c^n Sum_{1<= k <= p-1} k^n (mod p)
所以Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

引理2: Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k

证明：好像是显然的，但讲不清楚，略。

由引理1和引理2，加上 3！=6 (mod p) 当 p>5时可逆，所以命题成立
p | Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk.

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We_must_know. We_will_know.

3楼2014-04-20 07:58:01

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Edstrayer

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设 $p>5$ 是素数，试证：

$p\mid\left(\sum\limits_{1\leq i<j\leq p-1}ij\right)$

设 $p>5$ 是素数，试证：

$p\mid\left(\sum\limits_{1\leq i<j\leq p}ij\right)$

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2楼2014-04-20 07:39:57

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hank612

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-20 07:58:01
引理1：如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根（可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由 ...

好像引理2 不对，改成
Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k - 2* Sum_{1<=k <= p-1} k^3
希望这次对的。

不过总感觉怪怪的，好像什么都没说，只是捡了一个最软的柿子捏了捏（指引理1），然后一路显然。。。

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We_must_know. We_will_know.

4楼2014-04-20 08:04:19

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hank612

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, 很巧妙的证法，其实这几个题目也可以通过直接求和计算论证。 2015-08-19 07:41:36

引用回帖:

6楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-17 05:26:26
顶一个

我自己看了一下以前的回复, 不知所云. 数学不应该是这样的, 而是简单而深刻的.

我们可以把Edstrayer的题目推广, 然后就知道题目真正想问的是什么了.

设n>1, $1\leq m \leq \phi(n)$ 正整数. f(x1,x2,...,xm)为m个变量的齐次对称函数. (对称指f(...,xi,..,xj,...)=f(...,xj,..,xi,..), 对任意 $i\neq j$ , 奇次指存在k, 使得 $f(a*x1,...,a*xm)=a^k*f(x1,..,xm)$ )

引理: 若 $1\leq m \leq \phi(n)$ , f(x1,x2,...,xm)为m个变量的次数为k的齐次对称函数, 那么对于与n互素的任意整数a, (即 (a,n)=1), 均有
$n|(a^k-1)\sum{f(x1,..,xm)}$ , 其中求和取遍n的既约剩余系中m元的互异元素组.

证明: 定义而已.

求和针对所有的(x1,...,xm), xi互不相同, 与n互素. 那么(a*x1,..,a*xm) 同样满足a*xi依旧互不相同, 与n互素. 对所有的(a*x1,..,a*xm)求和,自然就 $\sum{f(a*x_1,...,a*x_m)}\equiv \sum{f(x_1,...,x_m)}(\mod n)$ . 加上f是齐次对称的, 引理成立.

利用这个引理, 当n=p素数, $m=\phi(p)=p-1$ , $f(x_1,..,x_{p-1})=\prod_{j=1}^{p-1}x_j$ , 立刻得到费马小定理: $a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)$

当n=p素数, m=3, f(x1,x2,x3)=x1*x2*x3, 立刻得到 Edstrayer 的定理. (包括一楼,二楼的, 同时成立), 并且知道p=5时定理依然成立.

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We_must_know. We_will_know.

7楼2015-08-19 01:42:37

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