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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一个级数求和的问题？
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Edstrayer

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[交流] 一个级数求和的问题？

设是素数：试证：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-20 01:51:44
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Edstrayer

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引用回帖:
11楼: Originally posted by 数学老学徒 at 2015-10-16 19:49:44
数学重要的是找到漂亮的联系，回到本原。

谢谢啊，数学的本质是能够尽可能简单地找到隐藏在繁杂的数字与形式之中的规律，…………找到漂亮完美的联系是一种手段和方法，………………与君共勉。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
12楼2015-10-17 07:26:27
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Edstrayer

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设是素数，试证：



设是素数，试证：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-04-20 07:39:57
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由n的条件知 c^n 不等于 1 (mod p). 然而
Sum_{1<= k <= p-1} k^n = c^n Sum_{1<= k <= p-1} k^n (mod p)
所以Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

引理2: Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k

证明：好像是显然的，但讲不清楚， 略。

由引理1和引理2， 加上 3！=6 (mod p) 当 p>5时可逆， 所以命题成立
p |  Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-04-20 07:58:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-20 07:58:01
引理1： 如果p>2是素数， (p-1)不整除正整数n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p)

证明：mod p 有原根 （可以参考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，设为c, 即c的阶为(p-1). 由 ...

好像引理2 不对， 改成
Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k - 2* Sum_{1<=k <= p-1} k^3
希望这次对的。

不过总感觉怪怪的， 好像什么都没说，只是捡了一个最软的柿子捏了捏 （指引理1），然后一路显然。。。
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4楼2014-04-20 08:04:19
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Edstrayer

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-10-07 12:43:03
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Edstrayer

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6楼2015-08-17 05:26:26
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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Edstrayer: 金币+10, 很巧妙的证法，其实这几个题目也可以通过直接求和计算论证。 2015-08-19 07:41:36
引用回帖:
6楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-17 05:26:26
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我自己看了一下以前的回复, 不知所云. 数学不应该是这样的, 而是简单而深刻的.

我们可以把Edstrayer的题目推广, 然后就知道题目真正想问的是什么了.

设n>1, 正整数. f(x1,x2,...,xm)为m个变量的齐次对称函数. (对称指f(...,xi,..,xj,...)=f(...,xj,..,xi,..), 对任意, 奇次指存在k, 使得)

引理: 若, f(x1,x2,...,xm)为m个变量的次数为k的齐次对称函数, 那么对于与n互素的任意整数a, (即 (a,n)=1), 均有
, 其中求和取遍n的既约剩余系中m元的互异元素组.

证明: 定义而已.

求和针对所有的(x1,...,xm), xi互不相同, 与n互素. 那么(a*x1,..,a*xm) 同样满足a*xi依旧互不相同, 与n互素.  对所有的(a*x1,..,a*xm)求和,自然就. 加上f是齐次对称的, 引理成立.

利用这个引理, 当n=p素数, , , 立刻得到费马小定理:

当n=p素数, m=3, f(x1,x2,x3)=x1*x2*x3, 立刻得到 Edstrayer 的定理. (包括一楼,二楼的, 同时成立), 并且知道p=5时定理依然成立.
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7楼2015-08-19 01:42:37
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Edstrayer

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引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-19 01:42:37
我自己看了一下以前的回复, 不知所云. 数学不应该是这样的, 而是简单而深刻的.

我们可以把Edstrayer的题目推广, 然后就知道题目真正想问的是什么了.

设n>1, 1\leq m \leq \phi(n) 正整数. f(x1,x2,..., ...

一楼的结果对p=5时不成立。事实上，我们有：


而38不是5的倍数。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
8楼2015-08-19 08:00:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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8楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-19 08:00:03
一楼的结果对p=5时不成立。事实上，我们有：
\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant 4}ijk=1\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 3\cdot 4=38
而38不是5的倍数。...

一楼的结果对p=5时成立。事实上，我们有：



而50是5的倍数。
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9楼2015-08-19 08:07:06
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数学老学徒

金虫 (小有名气)
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Edstrayer: 金币+5, 谢谢 2015-11-02 17:59:49
打一发酱油
一个级数求和的问题？



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未来属于开拓者
10楼2015-10-16 13:52:45
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