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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 关于布朗运动的积分问题
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shy1992331

新虫 (小有名气)

[求助] 关于布朗运动的积分问题 已有4人参与

1、W是一维标准布朗运动，求的期望和方差。
2、W是一维标准布朗运动，，求，其中
sgn(x)=1,x>0;sgn(x)=-1，x≤0
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1楼 2014-06-09 23:23:14
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
期望和积分交换。
因为E(Ws^2)=sa，其中a是W1的方差。
所以
1）=as在0到t的积分。等于a/2*t^2
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2楼2014-06-11 19:19:43
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leedobb

金虫 (正式写手)
第一题不难
第二题
注意到
W(t) = int^t_0 dWs = W(+) +W(-)
B(t) = W(+) - W(-)

因此
E(btWt) = E( W(+)^2-W(-)^2) = 0
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
3楼2014-06-12 08:46:08
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yyz12345a

铁虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

可用伊藤公式进行计算。

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4楼2014-08-24 16:51:36
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sevxin

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

一楼做错了吧？
方差算法有问题，最后答案应该是1/3*t^3吧？用伊藤公式
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5楼2015-06-16 00:02:37
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z504391803

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

第一问EBt=0到1EWs^2ds=0到1 sds=1/2
EBt^2=0到1，0到1E（Ws^2Wu^2）dsdu（二重积分）=7/24，所以varBt=7/24-（1/2）^2=1/24

第二问注意到Bt=|Wt|就行了，第一个期望是0（对称性），第二个=E|wt|^3，wt～N（0，t），这个算下积分就好了。

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6楼2020-05-17 19:12:50
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z504391803

新虫 (初入文坛)
额上面第一题第二问算错了，更正下🙏
第一问EBt=0到1EWs^2ds=0到1 sds=1/2
EBt^2=0到1，0到1E（Ws^2Wu^2）dsdu（二重积分）=7/12，所以varBt=7/12-（1/2）^2=1/3

第二问注意到Bt=|Wt|就行了，第一个期望是0（对称性），第二个=E|wt|^3，wt～N（0，t），这个算下积分就好了。

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7楼2020-05-17 19:17:18
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z504391803

新虫 (初入文坛)
额上面第一题第二问算错了，更正下🙏
第一问EBt=0到1EWs^2ds=0到1 sds=1/2
EBt^2=0到1，0到1E（Ws^2Wu^2）dsdu（二重积分）=7/12，所以varBt=7/12-（1/2）^2=1/3

第二问注意到Bt=|Wt|就行了，第一个期望是0（对称性），第二个=E|wt|^3，wt～N（0，t），这个算下积分就好了。

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8楼2020-05-17 19:32:07
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