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math2000铁杆木虫 (职业作家)
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求助:一几乎处处收敛的证明题 已有1人参与
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请大侠帮助，题目如下： 设随机变量X1，X2，...，Xn，...独立同分布，服从参数为1的指数分布，证明： limsup(Xn/logn)=1，a.s. 谢谢了 |
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
math2000: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 将上极限与Borel-cantelli引理联系在一起，很有启发 2014-06-04 20:32:52
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math2000: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 将上极限与Borel-cantelli引理联系在一起，很有启发 2014-06-04 20:32:52
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可以用Borel-Cantelli引理证明。 任取\epsilon\in (0,1)， 则有sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1+\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1+\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1+\epsilon}<\inf， 故由Borel-Cantelli引理知 P{x_n/log n>1+\epsilon i.o.}=0, 即{x_n/log n>1+\epsilon }发生无穷多次的概率为0， 所以limsup(X_n/logn)<=1+\epsilon a.s. 再由sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1-\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1-\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1-\epsilon}=\inf, 故由Borel-Cantelli引理知 P{x_n/log n>1-\epsilon i.o.}=1， 即{x_n/log n>1-\epsilon }发生无穷多次的概率为1， 所以 limsup(X_n/logn)>1-\epsilon a.s. 最后令\epsilon 趋于0， 就证明出limsup(X_n/logn)=0 a.s. |
2楼2014-06-04 14:12:45
math2000
铁杆木虫 (职业作家)
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3楼2014-06-04 20:32:54
