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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 求助:一几乎处处收敛的证明题
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 求助:一几乎处处收敛的证明题 已有1人参与

请大侠帮助，题目如下：
设随机变量X1，X2，...，Xn，...独立同分布，服从参数为1的指数分布，证明：
limsup(Xn/logn)=1，a.s.
谢谢了
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1楼 2014-06-03 21:03:10
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jianyongmu

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
math2000: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 将上极限与Borel-cantelli引理联系在一起，很有启发 2014-06-04 20:32:52
可以用Borel-Cantelli引理证明。
    任取\epsilon\in (0,1)， 则有sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1+\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1+\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1+\epsilon}<\inf， 故由Borel-Cantelli引理知
P{x_n/log n>1+\epsilon i.o.}=0, 即{x_n/log n>1+\epsilon }发生无穷多次的概率为0， 所以limsup(X_n/logn)<=1+\epsilon a.s.
    再由sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1-\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1-\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1-\epsilon}=\inf, 故由Borel-Cantelli引理知
P{x_n/log n>1-\epsilon i.o.}=1，  即{x_n/log n>1-\epsilon }发生无穷多次的概率为1， 所以
limsup(X_n/logn)>1-\epsilon a.s.
    最后令\epsilon 趋于0， 就证明出limsup(X_n/logn)=0 a.s.
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2楼2014-06-04 14:12:45
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jianyongmu at 2014-06-04 14:12:45
可以用Borel-Cantelli引理证明。
    任取\epsilon\in (0,1)， 则有sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1+\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1+\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1+\epsilon}<\inf， 故由Bo ...

非常感谢
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3楼2014-06-04 20:32:54
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