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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 矩阵的本征矢量
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luqing6879

木虫 (著名写手)

[求助] 矩阵的本征矢量 已有2人参与

一个实向量和它的转置向量做外积，得到n阶方阵。对此方阵做对角化，得到n个本征矢。那么这n个本征矢中（比如对应第一个本征值的本征矢），会包括（是）原来的列向量么？

如果有链接或推导就更好了。

谢谢。
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1楼 2014-03-01 02:40:50
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luqing6879

木虫 (著名写手)
从matlab结果看，好像没有关系。
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2楼2014-03-01 03:04:30
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
luqing6879: 金币+4, ★★★★★最佳答案, 谢谢。 2014-03-02 11:22:41
你说的外积是指什么?
如果是列向量乘它的转置!那是对的
比如a是列向量(非零),设A=a*a'
则有A*a=(a*a')*a=(a'*a)*a
注意其中的a'*a是一个实数!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2014-03-01 07:55:58
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
luqing6879: 金币+1, ★★★★★最佳答案, 谢谢。 2014-03-02 11:22:54
a为列向量，则有aa*=A是个n阶矩阵。*代表共轭转置，也可以换成T表示转置。我们有（aa*）a=a(a*a)=(a*a)a
所以有（aa*）a=（a*a)a
这就表示特征值（a*a）对应的特征向量就是a。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
4楼2014-03-01 12:28:20
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luqing6879

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2014-03-01 07:55:58
你说的外积是指什么?
如果是列向量乘它的转置!那是对的
比如a是列向量(非零),设A=a*a'
则有A*a=(a*a')*a=(a'*a)*a
注意其中的a'*a是一个实数!

谢谢。这是我用matlab算的结果：
>> a=[3,54,12,-2]

a =

     3    54    12    -2

>> b=a'

b =

     3
    54
    12
    -2

>> c=b*a

c =

           9         162          36          -6
         162        2916         648        -108
          36         648         144         -24
          -6        -108         -24           4

>> [v,d]=eig(c)

v =

    0.9976    0.0012    0.0434   -0.0541
   -0.0434    0.0391   -0.2184   -0.9741
   -0.0542   -0.0098    0.9747   -0.2165
         0    0.9992    0.0180    0.0361


d =

  1.0e+003 *

   -0.0000         0         0         0
         0   -0.0000         0         0
         0         0    0.0000         0
         0         0         0    3.0730

请问在本征向量举证v中为什么没有我原来的向量呢？
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5楼2014-03-02 01:21:12
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luqing6879

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by wshaoxin at 2014-03-01 12:28:20
a为列向量，则有aa*=A是个n阶矩阵。*代表共轭转置，也可以换成T表示转置。我们有（aa*）a=a(a*a)=(a*a)a
所以有（aa*）a=（a*a)a
这就表示特征值（a*a）对应的特征向量就是a。

谢谢。这是我用matlab算的结果：
>> a=[3,54,12,-2]

a =

     3    54    12    -2

>> b=a'

b =

     3
    54
    12
    -2

>> c=b*a

c =

           9         162          36          -6
         162        2916         648        -108
          36         648         144         -24
          -6        -108         -24           4

>> [v,d]=eig(c)

v =

    0.9976    0.0012    0.0434   -0.0541
   -0.0434    0.0391   -0.2184   -0.9741
   -0.0542   -0.0098    0.9747   -0.2165
         0    0.9992    0.0180    0.0361


d =

  1.0e+003 *

   -0.0000         0         0         0
         0   -0.0000         0         0
         0         0    0.0000         0
         0         0         0    3.0730

请问在本征向量举证v中为什么没有我原来的向量呢？
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6楼2014-03-02 01:21:40
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by luqing6879 at 2014-03-02 01:21:12
谢谢。这是我用matlab算的结果：
>> a=

a =

     3    54    12    -2

>> b=a'

b =

     3
    54
    12
    -2

>> c=b*a

c =

           9         162          ...

v的第四列和原来的特征向量属于同一特征值!
一个特征向量的非零倍数仍然是属于同一特征值的特征向量!
v(:,4)./a'
ans =
   -0.0180
   -0.0180
   -0.0180
   -0.0180
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
7楼2014-03-02 09:13:20
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