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蓝色De天空

铜虫 (小有名气)

[求助] 关于fourier变换的求解问题

如图所示的傅里叶变换如何求解？其中a是常数
先谢谢了！
关于fourier变换的求解问题
傅里叶变换.jpg
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1楼 2013-12-13 18:10:41
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
蓝色De天空: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 谢谢老师 2013-12-14 12:38:40
关键   做级数展开 1/(1-a*cosk)= Sum[(a*cosk)^n, n=0, inf]           // 条件 |a|<1
1/(2pi)*Integrate[exp(-ikx)*1/(1-a*cosk),{k, -inf, +inf}]
=1/(2pi)*Integrate[exp(-ikx)*Sum[(a*cosk)^n, n=0, inf],{k, -inf, +inf}]
FT[cosk]←→pi*[δ(x-1)+ δ(x+1)]
[(cosk)^2]←→1/(2pi)*{pi*[δ(x-1)+ δ(x+1)]}@ {pi*[δ(x-1)+ δ(x+1)]}   //@卷积
         ←→pi /2*[δ(x-2)+2δ(x)+ δ(x+2)]
[(cosk)^3]←→1/(2pi)*{pi*[δ(x-1)+ δ(x+1)]}@ { pi /2*[δ(x-2)+2δ(x)+ δ(x+2)]}
              ←→pi /4*[δ(x-3)+3δ(x-1) +3δ(x+1)+ δ(x+3)]
……
[(cosk)^n]←→pi /2^(n-1)*Sum[C&sup_m-sub_n]*δ(x+2*m-n), m=0, n];     // C&sup_m-sub_n  C上m下n
1/(2pi)*Integrate[exp(-ikx)*1/(1-a*cosk),{k, -inf, +inf}]
= δ(x)+ Sum [a^n/2^n* Sum[C&sup_m-sub_n]*δ(x+2*m-n), m=0, n],  n=1, inf]

[ Last edited by feixiaolin on 2013-12-14 at 07:16 ]
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2楼2013-12-13 21:20:29
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
蓝色De天空: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2013-12-14 12:39:20
这个积分直接去积是发散的不存在的，我记得一本书中是这样处理问题的：先将被积函数乘以个e^(β^2*k)，其中β为实数。积出原函数后再令β=0，得到原函数。
  利用欧拉公式，可将被积函数改写为e^(i*k)和e^(β^2*k)的函数，再令u=e^(i*k),将被积函数化为了u的有理分式，从而得到求解。
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3楼2013-12-13 21:47:03
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