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复合函数问题
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1. 是否存在R到R 的连续可微函数f(x)满足：f(x)>0且f'(x)=f(f(x))? 2. 是否存在连续函数f(x)使得f(f(x))=e^{-x}？ 说明原因 |
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【答案】应助回帖
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ypzhangsd: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-10-31 14:34:02
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第二个 反证法， 设有在R上的连续函数f(x), 使得f(f(x))=-x （I) 1。 f为奇函数： f(-x)=f(f(f(x)))=-f(x). ==>f(0)=0 2. 若f(a)=a,则f(f(a))=-a=a ==>a=0. 3. 若f(a)=-a,则f(f(a))=-a=f(-a) 根据2.==>a=0. 4.若f(a)=0,则f(f(a))=-a=f(0)=0 若f满足（I)，则-f也满足（I)，所以可设 x>0时,f(x)>0。 5. 根据1.,2.,3.,4.得，f满足下面2种情况之一： （1）。x>0时,f(x)>x, x<0时,f(x)<x。 （2）。x>0时,x>f(x)>0, x<0时,x<f(x)<0。 6. 设 x>0时,f(x)>x, x<0时,f(x)<x。 ==》 x>0时,-x=f(f(x))>f(x)>x，矛盾，这个情况无解。 7. 设x>0时,x>f(x)>0, x<0时,x<f(x)<0。 ==》 x>0时,-x=f(f(x))>0，矛盾，这个情况无解。 所以根据没有在R上的连续函数f，满足（I)。 |
3楼2013-10-30 23:45:03
2楼2013-10-30 21:01:58
hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
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(1) f'(x) =f(f(x)) > 0推出 f(x) 当 x 趋于负无穷大时, 单调下降有下界 (0 为下界), 故极限 f(-∞) =a >=0 存在. 从 -∞ 到0积分f'(x), 就是 f(0) -a. 然而, 被积函数 f(f(x)) >=f(a) >0, 从 -∞ 到0积分是发散的. 因此这样的函数f(x) 不存在. (2) f(x)=f(y) 推出 e^{-x} = e^{-y}. 因此 f(x)是单射. 可是f又是连续的, 因此是单调的. 考虑广义极限f(-∞)=b, 广义的意思就是说b可以取值为∞或者-∞. 由f(b)= e^{-(-∞)} =∞ 知道b必须取值为∞或者-∞, 而且 f(∞)=e^{-b}. 如果 b=∞, 那么f(b)= ∞ 与f(∞)=e^{-b}=0 相矛盾. 如果 b= -∞, 那么f(-∞)=b 与 f(b)= ∞ 相矛盾. |
4楼2013-10-31 04:10:08
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