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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复合函数问题
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ypzhangsd

银虫 (小有名气)

[求助] 复合函数问题

1. 是否存在R到R 的连续可微函数f(x)满足：f(x)>0且f'(x)=f(f(x))?
2. 是否存在连续函数f(x)使得f(f(x))=e^{-x}？

说明原因
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1楼 2013-10-30 16:31:59
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niubenhit

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ypzhangsd: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-10-31 14:33:24
第二个不存在，首先用反证法来证f(x)是单调函数，然后有 f(f(x))是单调增函数，矛盾。第一个不会。
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有眼大如天，山高月更阔
2楼2013-10-30 21:01:58
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木，虫1号

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ypzhangsd: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-10-31 14:34:02
第二个
反证法，
设有在R上的连续函数f(x),
使得f(f(x))=-x （I)

1。
f为奇函数：
f(-x)=f(f(f(x)))=-f(x).
==>f(0)=0

2.
若f(a)=a,则f(f(a))=-a=a
==>a=0.

3.
若f(a)=-a,则f(f(a))=-a=f(-a)
根据2.==>a=0.

4.若f(a)=0,则f(f(a))=-a=f(0)=0
若f满足（I)，则-f也满足（I)，所以可设
x>0时,f(x)>0。

5.
根据1.,2.,3.,4.得，f满足下面2种情况之一：
（1）。x>0时,f(x)>x,
x<0时,f(x)<x。

（2）。x>0时,x>f(x)>0,
x<0时,x<f(x)<0。

6.
设 x>0时,f(x)>x,
x<0时,f(x)<x。
==》
x>0时,-x=f(f(x))>f(x)>x，矛盾，这个情况无解。

7.
设x>0时,x>f(x)>0,
x<0时,x<f(x)<0。
==》
x>0时,-x=f(f(x))>0，矛盾，这个情况无解。

所以根据没有在R上的连续函数f，满足（I)。
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3楼2013-10-30 23:45:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ypzhangsd: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-10-31 14:34:09
(1) f'(x) =f(f(x)) > 0推出 f(x) 当 x 趋于负无穷大时, 单调下降有下界 (0 为下界),
故极限 f(-∞) =a >=0 存在. 从 -∞ 到0积分f'(x), 就是 f(0) -a.
然而, 被积函数 f(f(x)) >=f(a) >0, 从 -∞ 到0积分是发散的. 因此这样的函数f(x) 不存在.

(2) f(x)=f(y) 推出 e^{-x} = e^{-y}. 因此 f(x)是单射.  可是f又是连续的, 因此是单调的.
考虑广义极限f(-∞)=b, 广义的意思就是说b可以取值为∞或者-∞.
由f(b)= e^{-(-∞)} =∞ 知道b必须取值为∞或者-∞, 而且 f(∞)=e^{-b}.
如果 b=∞, 那么f(b)= ∞ 与f(∞)=e^{-b}=0 相矛盾.
如果 b= -∞, 那么f(-∞)=b 与 f(b)= ∞  相矛盾.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-10-31 04:10:08
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