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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求大师帮忙证明一个不等式，急！谢谢
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lilihurry

银虫 (小有名气)

[求助] 求大师帮忙证明一个不等式，急！谢谢

设a,b,c,是三角形的边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+a2c2+b2c2),注：前面的均是4次方，后面的均是平方
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1楼 2013-10-27 16:45:56
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry: 金币+2, ★有帮助 2013-10-29 20:53:21
用余弦定理即可证明:
a^2-b^2-c^2=2*b*c*cos(af)
两边平方可得:
a^4+b^4+c^4=2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+2*b^2*c^2*(2*cos(af)-1)
                      =2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+2*b^2*c^2*cos(2*af)
                       <2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+2*b^2*c^2
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2013-10-27 21:00:25
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
取
a^2=x1^2+y1^2,  b^2=x2^2+y2^2,  c^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2,
代入原式。
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2楼2013-10-27 18:18:01
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莲动波光浩月

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry: 金币+1 2013-10-29 20:53:31
因式分解，原式可转化为：(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)>0,a+b>c,b+c>a,c+a>b,a+b+c>0,故原式<0
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4楼2013-10-28 08:44:42
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莲动波光浩月

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

打错了一个符号，最后应为：原式>0
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5楼2013-10-28 08:45:26
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