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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 期望的求解问题
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shy1992331

新虫 (小有名气)

[交流] 期望的求解问题已有3人参与

X1,...Xn服从参数为λ的指数分布，求1/X*的期望，X*是X1,...Xn的均值，求思路啊
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1楼2013-10-07 22:29:44
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kelffon

金虫 (小有名气)
★
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这些变量独立吗？
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2楼2013-10-08 16:12:04
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
具体计算楼主自己去算，可能比较复杂，说下思路
假设X1，X2，……，Xn独立同分布，服从参数为λ的指数分布
1）将Xi作一个线性变换，变为Zi，使变换后的随机变量Zi服从参数为1的指数分布；
2）利用指数分布与卡尔方分布的关系：参数为1的指数分布就是自由度为2的卡尔方分布；
3)利用卡尔方分布的可加性，得到Z1+Z2+……+Zn服从参数为2n的卡尔方分布，
利用卡尔方分布密度，积分计算1/(Z1+Z2+……+Zn)的密度函数
综合1）和3）可以得到楼主要的结果。3）的计算可能有点难度
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3楼2013-10-08 18:48:01
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sishijing

新虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
其实，这个问题十分容易的！首先，指数分布是Gamma分布的一种特殊形式。楼主的指数分布，即为参数为1,和\lambda的gamma。其次，我们还需搞清楚，X1,...Xn,是否独立。如果独立的话，我们就可以利用Gamma分布的可加性，推导出（X1+...+Xn)是服从Gamma(n,\lambda). 那么1/X-star=n/(X1+...+Xn)。而，1/(X1+...+Xn)服从逆gamma分布（inverse-gamma）,参数为，n和\lambda.不知道的同学自己去Wikipedia上看一下。
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-gamma_distribution

逆gamma分布期望是很容易求的，就是两个参数之比。

值得注意的是，gamma和逆gamma分布的参数有些混乱，大家应该将它们的密度函数熟记，并且然后才能正确地选择公式。
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4楼2013-10-10 01:13:32
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