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谁负韶华

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[求助] 求助一道矩阵的题！好人一生平安！

设A,B,C分别是m×m,n×n,m×n的矩阵（m<n）.又已知AC=CB，C的秩为r。求证:A和B至少有r个相同的特征值。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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1楼 2013-09-22 09:22:24

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weft

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
谁负韶华: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-09-24 20:29:49

给个思路, 你去试试看能否行得通: 考虑C的标准形, 就是用可逆矩阵P和Q, 使得 ${C_1=PCQ}$ 是对角矩阵, 并且对角线上前r个都是1, 剩下的全是0. 利用此标准形将等式AC=CB化为 ${A_1 C_1 = C_1 B_1}$ , 其中 ${A_1=PAP^{-1}, B_1=QBQ^{-1}}$ , 注意 ${A_1}$ 与 ${A}$ 相似, ${B_1}$ 与 ${B}$ 相似, 因此问题转化为对 ${A_1}$ 和 ${B_1}$ 证明结论即可. 剩下的自己做吧, 应该很容易了.

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2楼2013-09-22 14:08:32

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谁负韶华

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引用回帖:

2楼: Originally posted by weft at 2013-09-22 14:08:32
给个思路, 你去试试看能否行得通: 考虑C的标准形, 就是用可逆矩阵P和Q, 使得{C_1=PCQ}是对角矩阵, 并且对角线上前r个都是1, 剩下的全是0. 利用此标准形将等式AC=CB化为{A_1 C_1 = C_1 B_1}, 其中{A_1=PAP^{-1}, B_1 ...

谢谢,搞定了。就差这点了。

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3楼2013-09-22 17:35:06

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黄家的大哥哥

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

同楼上，可以继续用矩阵特征多项式来解,在这之前可以求得AC相似于一个分四块的矩阵，CB也是
这种类型的题推荐你看看陕西师范大学的李志慧编写的高等代数基本问题解析，好似是这个书名

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4楼2013-09-24 18:01:19

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