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xc79522

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[求助] 二阶变系数差分方程

请教大家一个有关二阶变系数差分方程的问题。我在对一化学过程数学建模时，得到一数学关系，如下：

${x_i} = \frac{a} {{a + b + c \cdot {i^{ - \frac{7} {6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} + \frac{b} {{a + b + c \cdot {i^{ - \frac{7} {6}}}}} \cdot {x_{i + 1}}$

其中：

a, b, c 是不同的常数，且均大于零
i 的取值范围为大于等于零的整数，即：i = 0, 1, 2, 3, ... $\infty$

求： ${x_i}$ 的表达式，即： ${x_i} = f\left( i \right)$

补充：

我翻看了一下网上的资源，不知这个case是否也能用z变换的方法。

非常感谢！

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留心作正经事业

1楼 2013-08-20 23:28:39

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feixiaolin

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9楼: Originally posted by xc79522 at 2013-08-23 17:11:51
非常感谢feixiaolin！

如果设：

{x_0} = 1 \times {10^8}
{x_\infty } = 0

进退法能得出{x_i}的通项公式，即：{x_i} = f\left( i \right)么？...

还是需要后期人工整理滴。

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10楼2013-08-23 18:18:38

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xc79522

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谢谢智能机器人，辛苦您了！

不过，我的case是差分方程，应该和微分方程还不太一样。

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2楼2013-08-21 14:23:23

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xxka

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

请楼主注意初始条件，x0=？，i=0时，i^(-7/6)=?

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3楼2013-08-21 15:35:24

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谢谢xxka的提醒！

您提醒的没错，确实还有边界条件，即：

$\begin{array}{l} i = 0:\begin{array}{*{20}{c}} {} & {} \\ \end{array}{x_0} = given \\ i = \infty :\begin{array}{*{20}{c}} {} & {} \\ \end{array}{x_i} = 0 \\ \end{array}$

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4楼2013-08-21 15:48:43

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纠正一点小错误：

i 的取值范围应为自然数，即：i = 1, 2, 3, ... $\infty$

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5楼2013-08-21 17:16:20

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feixiaolin

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

用所谓进退法：
建议设x1等于某一个数值，递推出x无穷大，令x无穷大=0，还原出x1。
然后一切都顺了。

不能用z变化做。

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6楼2013-08-21 17:33:52

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6楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-08-21 17:33:52
用所谓进退法：
建议设x1等于某一个数值，递推出x无穷大，令x无穷大=0，还原出x1。
然后一切都顺了。

不能用z变化做。

谢谢feixiaolin！

我略搜索了一下进退法，想再追问一下：该法能求出 ${x_i}$ 的通项公式，即： ${x_i} = f\left( i \right)$ ？

另外，为什么不能用z变换呢？

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7楼2013-08-21 18:01:06

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feixiaolin

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7楼: Originally posted by xc79522 at 2013-08-21 18:01:06
谢谢feixiaolin！

我略搜索了一下进退法，想再追问一下：该法能求出{x_i}的通项公式，即：{x_i} = f\left( i \right)？

另外，为什么不能用z变换呢？...

为什么不能用z变换呢？
因为激励与状态变量相关。

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8楼2013-08-21 19:44:42

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8楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-08-21 12:44:42
为什么不能用z变换呢？
因为激励与状态变量相关。...

非常感谢feixiaolin！

如果设：

{x_0} = 1 \times {10^8}
{x_\infty } = 0

进退法能得出 ${x_i}$ 的通项公式，即： ${x_i} = f\left( i \right)$ 么？

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9楼2013-08-23 17:11:51

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