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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求矩阵2范数和矩阵F范数的习题
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Leo22

新虫 (初入文坛)

[交流] 求矩阵2范数和矩阵F范数的习题 已有1人参与

设n阶Hermite矩阵A满足（A+E)*(A-2E)^2=0,且rank(A+E)=r,求矩阵A的2范数和F范数。

现在没金币了。。。急啊
谢谢各位啦！
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1楼 2013-08-18 17:04:22
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)
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A的特征值只有-1 和2；
由于rank(A+E)=r，所以-1是n-r重特征值；
于是2是r重特征值；

A的2范数为2
F范数为 sqrt(（-1）^2*(n-r)+2^2*r)=sqrt(n+3r);
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2楼2013-08-18 20:47:47
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Leo22

新虫 (初入文坛)
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2楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-18 20:47:47
A的特征值只有-1 和2；
由于rank(A+E)=r，所以-1是n-r重特征值；
于是2是r重特征值；

A的2范数为2
F范数为 sqrt(（-1）^2*(n-r)+2^2*r)=sqrt(n+3r);

谢谢您的解答！
这道题跟A是否Hermite矩阵有关系吗?有的话用了什么性质呢？
再一个n为什么不等于3?
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3楼2013-08-18 21:45:16
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zenmebuxing

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3楼: Originally posted by Leo22 at 2013-08-18 21:45:16
谢谢您的解答！
这道题跟A是否Hermite矩阵有关系吗?有的话用了什么性质呢？
再一个n为什么不等于3?...

因为是hermite矩阵，所以2范数才是2 ，（A^H * A的特征值就是1和4，否则它的特征值不好确定）；
n不一定等于3啊；
譬如A=[-1  0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 2 1; 0 0 0 2];
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4楼2013-08-18 23:00:26
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Leo22

新虫 (初入文坛)
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4楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-18 23:00:26
因为是hermite矩阵，所以2范数才是2 ，（A^H * A的特征值就是1和4，否则它的特征值不好确定）；
n不一定等于3啊；
譬如A=;...

您好~初学范数和Hermite，您是否能解答下Hermite矩阵的2范数和F范数的计算公式，和其余矩阵有区别嚒？
另外，您举得例子A=[-1  0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 2 1; 0 0 0 2]，这样的话-1不就和2一样成了2重根了嚒，（A+E)^2*(A-2E)^2=0？

不胜感激！
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5楼2013-08-19 08:06:38
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)
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5楼: Originally posted by Leo22 at 2013-08-19 08:06:38
您好~初学范数和Hermite，您是否能解答下Hermite矩阵的2范数和F范数的计算公式，和其余矩阵有区别嚒？
另外，您举得例子A=，这样的话-1不就和2一样成了2重根了嚒，（A+E)^2*(A-2E)^2=0？

不胜感激！...

Hermite矩阵是正规矩阵（A^H*A=A*A^H）于是A^H*A的特征值就等于|a|^2,（对于一般的矩阵，A^H*A的特征值不能如此计算）其中a是A的特征值；
于是2范数就等于A的绝对值（模长）最大的特征值的长度；

至于后一个问题，只要A满足（A+E)*(A-2E)^2=0就行了；不理解的话看看特征多项式和最小多项式吧；
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6楼2013-08-19 10:00:01
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Leo22

新虫 (初入文坛)
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6楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-19 10:00:01
Hermite矩阵是正规矩阵（A^H*A=A*A^H）于是A^H*A的特征值就等于|a|^2,（对于一般的矩阵，A^H*A的特征值不能如此计算）其中a是A的特征值；
于是2范数就等于A的绝对值（模长）最大的特征值的长度；

至于后一个问 ...

十分感谢~！！！真是好人那
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7楼2013-08-19 20:09:32
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