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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于两个随机变量是否相等的问题
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tlqtib

木虫 (正式写手)

[求助] 关于两个随机变量是否相等的问题

n个独立，参数均为r 的指数分布随机变量 X1,X2,....,Xn,请问下，这n个随机变量是否相等，即 X1=X2=...=Xn。

请高数指点，谢谢。
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1楼2013-01-24 15:30:56
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kanger0

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tlqtib: 金币+3, ★有帮助, 谢谢。 2013-01-24 16:06:37
当然不等. 对一切非退化的随机变量来说, 相等就不会独立, 独立就不会相等.
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2楼2013-01-24 16:04:22
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tlqtib

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by kanger0 at 2013-01-24 16:04:22
当然不等. 对一切非退化的随机变量来说, 相等就不会独立, 独立就不会相等.

可是，这 n 个随机变量的概率密度曲线和分布函数的曲线都一样啊。
目前，在看林元烈的<<应用随机过程>>，其中证明独立同分布指数流是泊松过程的充分条件时，它做了一次变换，我看明显是 用 X1 替换 Xm+1, 用 X1..n 替换 Xm+1...Xm+1+n.

这怎么理解呢?
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3楼2013-01-24 16:09:45
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tlqtib

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by tlqtib at 2013-01-24 16:09:45
可是，这 n 个随机变量的概率密度曲线和分布函数的曲线都一样啊。
目前，在看林元烈的<<应用随机过程>>，其中证明独立同分布指数流是泊松过程的充分条件时，它做了一次变换，我看明显是 用 X1 替换 X ...

上面说的有点不规范，是 n 个独立同参数分布的指数随机变量
书中是用 X1......Xn,  替换了 Xm+1......Xm+n (m>=0)
这个，我理解应该是 X1=Xm+1...Xn=Xm+n,

不知对否？

望点拨.
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4楼2013-01-24 16:17:31
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mlanqiang

木虫之王 (文学泰斗)

蓝博士

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
tlqtib: 金币+1, 谢谢。 2013-01-24 16:35:43
应该是相互独立的，不相等。
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蓝精灵
5楼2013-01-24 16:32:00
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tlqtib

木虫 (正式写手)
感谢楼上，请各位同学，老师多拍砖。
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6楼2013-01-24 16:36:22
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kanger0

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by tlqtib at 2013-01-24 16:17:31
上面说的有点不规范，是 n 个独立同参数分布的指数随机变量
书中是用 X1......Xn,  替换了 Xm+1......Xm+n (m>=0)
这个，我理解应该是 X1=Xm+1...Xn=Xm+n,

不知对否？

望点拨....

不对. 那应该是同分布, 例如P(X1>1)=P(X2>1)=...=P(Xn>1), 放在概率里它们可以相互替换。
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7楼2013-01-24 19:08:32
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tlqtib: 金币+3, ★有帮助, 谢谢。 2013-01-25 08:44:27
楼主两个概念混淆了：随机变量的同分布与随机变量的相等
因为随机变量本质上是一个映射：样本空间到实数的映射，所以一个随机变量就类似于一个函数，只是其定义域不是实数。
所以随机变量X与Y相等，是指对定义域上任意一点e，有X(e)=Y(e)
随机变量X与Y几乎处处相等，是指P{e|X(e)=Y(e)}=1
但对于随机变量而言，通常一般只研究其取值规律，即分布，所以是否相等并不是很关心，通常关心是两个随机变量的分布函数是否相等。
如果两个随机变量相等或几乎处处相等，其分布肯定相等
但如果两个随机变量同分布，并不能推出其相等，比如，设X~N(0,1)，则Y=-X~N(0,1)，显然X与Y不相等
两个独立随机变量更不可能相等，除非其是常数
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8楼2013-01-24 23:40:27
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tlqtib

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by math2000 at 2013-01-24 23:40:27
楼主两个概念混淆了：随机变量的同分布与随机变量的相等
因为随机变量本质上是一个映射：样本空间到实数的映射，所以一个随机变量就类似于一个函数，只是其定义域不是实数。
所以随机变量X与Y相等，是指对定义域上 ...

感谢 math2000 的解答，两个独立同分布的随机变量确实不一定相等。
只是，这里是针对特定的参数 r 相等的独立指数分布，因为，概率密度函数和累积分布函数的曲线完全一样。

这个说明，这两个随机变量，在实数轴上，处处  P(X1<=x)=P(X2<=x).

在林元烈的书中《《应用随机过程》》第二章， Poisson 过程及其推广中，定理 2.2.1 计数过程 {N(t),t>=0} 是 Poisson 过程的充分必要条件是 {Xn, n>=1} 是独立同参数为 r  的指数分布。

在证明充分性的时候，第二步：证平稳性。它用了， X1......Xn，替换了 Xk+1......Xk+n,  而 Xi 即为独立参数相同的指数分布，如果这个 n 个随机变量不相等，如何能够替换？
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9楼2013-01-25 08:44:06
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tlqtib

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by tlqtib at 2013-01-25 08:44:06
感谢 math2000 的解答，两个独立同分布的随机变量确实不一定相等。
只是，这里是针对特定的参数 r 相等的独立指数分布，因为，概率密度函数和累积分布函数的曲线完全一样。

这个说明，这两个随机变量，在实数轴 ...

林元烈的这本<<应用随机过程>> ，网络上有电子书，http://ishare.iask.sina.com.cn/f/15369807.html
如果哪位老师，帮我推导下第二章，2.2 相邻事件的时间间隔， Poisson 过程与指数分布的关系，定理2.2.1 充分性，第二步：证平稳性。
感激不尽!
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10楼2013-01-25 09:44:08
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