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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)

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[求助] 二阶变系数线性方程求助递推数列通项求解

在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的：

我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！

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一日红黑，终生红黑！

1楼 2012-09-22 21:42:39

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

以前曾经得到母函数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}S_{n+1}x^n$ 的表达式, 即 $f(x)=\frac{e^{-2x}}{(1-x)^2}$ .

由于 $S_n$ 的精确表达式颇为复杂,况且楼主只需要考察是否有 $S_n\sim (n+2)e^{-2}$ , 我们可以直指问题,避开麻烦.

考虑 $e^2f(x)$ 在x=0处的Taylor展开式, 但我们来个明修栈道,暗度陈仓. 由于 $e^2f(x)$ 在x=1是非常容易展开的: $\frac{e^{2-2x}}{(1-x)^2}=\frac{1+2(1-x)}{(1-x)^2}+\int_0^2(2-t)e^{t(1-x)}dt$ .

注意到
$\frac{3-2x}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(3+n)x^n$ 以及显然的积分式对x 展开得到的
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^2(2-t)\frac{(-t)^ne^t}{n!}dt\right)x^n$

于是, 几乎没有经过任何运算, 我们就得到 $e^2S_{n+1}-(3+n)$ 等于
$\int_{0}^2(2-t)\frac{(-t)^ne^t}{n!}dt$ 明显绝对值小于 $\frac{2^{n+1}e^2}{n!}$ 趋于0. 这就是楼主看到的 $S_n\sim (n+2)e^{-2}$ .

我翻老贴只是想说明, 想问题最好直指本心. 那些兜七兜八把大伙都快绕晕了的, 大体上是竺老师说的"小己玄思, 凿枘不容". 数学本该是简单而深刻的.