24小时热门版块排行榜

返回列表

本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
笃学明志(sweety代发): 金币+10, 鼓励虫友认真的回复和解答 2014-10-14 21:23:38
sweety: 数学EPI+1 2014-10-14 21:23:44

引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

我按楼主的程序画了图, 这根本就是一条直线, 我还以为程序出错了呢. 把它在0-100放大,就会发现
除了S1=1, S2=0, S3=1, S4=2/3, S5=1 以后都是单调递增的, 几乎是直线.

由于 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k!,
所以 S_{n+1}  = Sum_{m=0}^n Sum_{k=0}^m (-2)^k/ k!
            = Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! * (n+1-k)
= (n+1)*  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! -  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ (k-1)!
---> (n+1)*e^{-2} - (-2)* e^{-2}
   = (n+3)* e^{-2}
这就是楼主断言的 S_n ~ (n+2) * e^{-2}.