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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)

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[求助] 二阶变系数线性方程求助递推数列通项求解

在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的：

我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！

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一日红黑，终生红黑！

1楼 2012-09-22 21:42:39

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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笃学明志(sweety代发): 金币+10, 鼓励虫友认真的回复和解答 2014-10-14 21:23:38
sweety: 数学EPI+1 2014-10-14 21:23:44

引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

我按楼主的程序画了图, 这根本就是一条直线, 我还以为程序出错了呢. 把它在0-100放大,就会发现
除了S1=1, S2=0, S3=1, S4=2/3, S5=1 以后都是单调递增的, 几乎是直线.

由于 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k!,
所以 S_{n+1}  = Sum_{m=0}^n Sum_{k=0}^m (-2)^k/ k!
            = Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! * (n+1-k)
= (n+1)*  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! -  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ (k-1)!
---> (n+1)*e^{-2} - (-2)* e^{-2}
   = (n+3)* e^{-2}
这就是楼主断言的 S_n ~ (n+2) * e^{-2}.