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笃学明志至尊木虫 (知名作家)
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二阶变系数线性方程 求助递推数列通项求解
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在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的： 我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！ |
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2楼2012-09-23 17:26:25
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3楼2012-09-25 13:30:26
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4楼2013-04-24 09:36:33
hank612
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【答案】应助回帖
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令f(x) = S_1 + S_2 x + S_3 x^2 + ... = Sum_{n >=1} S_n* x^{n-1}. 则 f'(x)= S_2 + 2*S_3 x + 3* S_4 x^2 +...= Sum_{n>=2} (n-1)* x^{n-2} * S_n 你的级数 当n>=3时， (n-1) * S_n - (n-2) * S_{n-1} = 2 * S_{n-2}. 两边同时乘以x^{n-2}, 求和， 请直接验证 (f' - S_2) - x* f' = 2 * x * f. 因此 f' / f = 2x / (1-x). 积分得 f(x)= C* e^{-2x} / (1-x)^2. 带入 f(0)= S_1=1, 得到 C=1, 即 f(x)= e^{-2x} / (1-x)^2. 利用 e^{-2x}= Sum_{k>=0} (-2x)^k / k! (1-x)^{-2} = Sum_{n>=0} (-2 choose n) (-x)^n 得到 S_{n+1} = Sum_{k=0}^n (-2)^k / k! * (-1)^{n-k} * (-2 choose n-k). 关于进一步的分析， 我无能为力了。 |
5楼2013-07-29 13:35:08
hank612
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【答案】应助回帖
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继续楼下的分析。 设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2. 楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。 比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系数， 得到 S_{n+1} - 2* S_n + S_{n-1} = (-2)^n / n!. 该式子对所有的n>=0 成立，如果我们取 S_0=S_{-1}=0的话. 故 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! 趋于 e^{-2}, 所以 楼主的拟合 是惊人的准确。 事实上，我个人认为 S_{n+1} = S_n + Sum_{k=0}^n (-2)^k / K! 会比通项公式 更好用，也更直观。 |
6楼2013-07-29 15:18:57
hank612
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【答案】应助回帖
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笃学明志(sweety代发): 金币+10, 鼓励虫友认真的回复和解答 2014-10-14 21:23:38
sweety: 数学EPI+1 2014-10-14 21:23:44
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sweety: 数学EPI+1 2014-10-14 21:23:44
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我按楼主的程序画了图, 这根本就是一条直线, 我还以为程序出错了呢. 把它在0-100放大,就会发现 除了S1=1, S2=0, S3=1, S4=2/3, S5=1 以后都是单调递增的, 几乎是直线. 由于 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k!, 所以 S_{n+1} = Sum_{m=0}^n Sum_{k=0}^m (-2)^k/ k! = Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! * (n+1-k) = (n+1)* Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! - Sum_{k=0}^n (-2)^k/ (k-1)! ---> (n+1)*e^{-2} - (-2)* e^{-2} = (n+3)* e^{-2} 这就是楼主断言的 S_n ~ (n+2) * e^{-2}.  |
7楼2013-07-30 01:04:22
hank612
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8楼2016-07-01 01:59:05
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