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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)

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[求助] 二阶变系数线性方程求助递推数列通项求解

在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的：

我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！

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一日红黑，终生红黑！

1楼 2012-09-22 21:42:39

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

4楼: Originally posted by 笃学明志 at 2013-04-24 09:36:33
闲来无事根据拟合得出
bingo

继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系数，得到
S_{n+1} - 2* S_n + S_{n-1} = (-2)^n / n!.
该式子对所有的n>=0 成立，如果我们取 S_0=S_{-1}=0的话.

故
S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! 趋于 e^{-2},
所以楼主的拟合是惊人的准确。

事实上，我个人认为 S_{n+1} = S_n + Sum_{k=0}^n (-2)^k / K!
会比通项公式更好用，也更直观。