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笃学明志至尊木虫 (知名作家)
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[求助]
二阶变系数线性方程 求助递推数列通项求解
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在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的： 我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！ |
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4楼2013-04-24 09:36:33
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2楼2012-09-23 17:26:25
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3楼2012-09-25 13:30:26
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【答案】应助回帖
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令f(x) = S_1 + S_2 x + S_3 x^2 + ... = Sum_{n >=1} S_n* x^{n-1}. 则 f'(x)= S_2 + 2*S_3 x + 3* S_4 x^2 +...= Sum_{n>=2} (n-1)* x^{n-2} * S_n 你的级数 当n>=3时， (n-1) * S_n - (n-2) * S_{n-1} = 2 * S_{n-2}. 两边同时乘以x^{n-2}, 求和， 请直接验证 (f' - S_2) - x* f' = 2 * x * f. 因此 f' / f = 2x / (1-x). 积分得 f(x)= C* e^{-2x} / (1-x)^2. 带入 f(0)= S_1=1, 得到 C=1, 即 f(x)= e^{-2x} / (1-x)^2. 利用 e^{-2x}= Sum_{k>=0} (-2x)^k / k! (1-x)^{-2} = Sum_{n>=0} (-2 choose n) (-x)^n 得到 S_{n+1} = Sum_{k=0}^n (-2)^k / k! * (-1)^{n-k} * (-2 choose n-k). 关于进一步的分析， 我无能为力了。 |
5楼2013-07-29 13:35:08