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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 二阶变系数线性方程 求助递推数列通项求解
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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)

[求助] 二阶变系数线性方程 求助递推数列通项求解

在验证本学科几率效应的时候遇到一个极限问题，该数列是这样的：

我想知道大侠们能否求出n—>infinite时S的极限值，我主要还是想了解通项的求法，我转换成二阶变系数方程后不知道怎么处理了？拼不出来函数？可能要变形，重新构造数列。谢谢！
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一日红黑，终生红黑！
1楼 2012-09-22 21:42:39
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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)
怎么没有一点动静啊？！
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一日红黑，终生红黑！
2楼2012-09-23 17:26:25
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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)
不是沉了吧？大神救救我啊
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一日红黑，终生红黑！
3楼2012-09-25 13:30:26
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笃学明志

至尊木虫 (知名作家)

闲来无事  根据拟合得出
bingo  
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一日红黑，终生红黑！
4楼2013-04-24 09:36:33
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by 笃学明志 at 2013-04-24 09:36:33
闲来无事  根据拟合得出
bingo  

令f(x) = S_1 + S_2 x + S_3 x^2 + ... = Sum_{n >=1} S_n* x^{n-1}.

则 f'(x)= S_2 + 2*S_3 x + 3* S_4 x^2 +...= Sum_{n>=2} (n-1)* x^{n-2} * S_n

你的级数 当n>=3时，
(n-1) * S_n - (n-2) * S_{n-1} = 2 * S_{n-2}. 两边同时乘以x^{n-2}, 求和，
请直接验证
(f' - S_2) - x* f' = 2 * x * f.
因此 f' / f = 2x / (1-x).  积分得 f(x)= C* e^{-2x} / (1-x)^2.
带入 f(0)= S_1=1, 得到 C=1, 即 f(x)= e^{-2x} / (1-x)^2.

利用 e^{-2x}= Sum_{k>=0} (-2x)^k / k!
  (1-x)^{-2} = Sum_{n>=0} (-2 choose n) (-x)^n
得到
S_{n+1} = Sum_{k=0}^n (-2)^k / k! * (-1)^{n-k} * (-2 choose n-k).

关于进一步的分析， 我无能为力了。
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We_must_know. We_will_know.
5楼2013-07-29 13:35:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by 笃学明志 at 2013-04-24 09:36:33
闲来无事  根据拟合得出
bingo  

继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系数， 得到
S_{n+1} - 2* S_n + S_{n-1} = (-2)^n / n!.
该式子对所有的n>=0 成立，如果我们取 S_0=S_{-1}=0的话.

故
S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! 趋于  e^{-2},
所以 楼主的拟合 是惊人的准确。

事实上，我个人认为 S_{n+1} = S_n + Sum_{k=0}^n (-2)^k / K!
会比通项公式 更好用，也更直观。
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We_must_know. We_will_know.
6楼2013-07-29 15:18:57
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
笃学明志(sweety代发): 金币+10, 鼓励虫友认真的回复和解答 2014-10-14 21:23:38
sweety: 数学EPI+1 2014-10-14 21:23:44
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

我按楼主的程序画了图, 这根本就是一条直线, 我还以为程序出错了呢. 把它在0-100放大,就会发现
除了S1=1, S2=0, S3=1, S4=2/3, S5=1 以后都是单调递增的, 几乎是直线.

由于 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k!,
所以 S_{n+1}  = Sum_{m=0}^n Sum_{k=0}^m (-2)^k/ k!
               = Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! * (n+1-k)
= (n+1)*  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! -  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ (k-1)!
---> (n+1)*e^{-2} - (-2)* e^{-2}
       = (n+3)* e^{-2}
这就是楼主断言的 S_n ~ (n+2) * e^{-2}.
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We_must_know. We_will_know.
7楼2013-07-30 01:04:22
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
继续楼下的分析。

设f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
楼主猜测 S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我们避开通项公式，看看可否证明楼主的猜想。

比较 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

以前曾经得到母函数的表达式, 即.

由于的精确表达式颇为复杂,况且楼主只需要考察是否有, 我们可以直指问题,避开麻烦.

考虑在x=0处的Taylor展开式, 但我们来个明修栈道,暗度陈仓. 由于在x=1是非常容易展开的: .

注意到
以及显然的积分式对x 展开得到的


于是, 几乎没有经过任何运算, 我们就得到 等于
明显绝对值小于 趋于0. 这就是楼主看到的.

我翻老贴只是想说明, 想问题最好直指本心. 那些兜七兜八把大伙都快绕晕了的, 大体上是竺老师说的"小己玄思, 凿枘不容". 数学本该是简单而深刻的.
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We_must_know. We_will_know.
8楼2016-07-01 01:59:05
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