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mafengyan金虫 (初入文坛)
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[求助]
微分方程解，解的稳定性及相关分析
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遇到一个方程，请大家帮忙看看 这个方程有几个平衡点？ 如果有相关论文，也希望各位大家可以帮助下。 谢谢 |
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5楼2013-02-19 10:43:06
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【答案】应助回帖
soliton923: 等待LZ的反馈~~谢谢专家的参与 2013-02-20 12:05:08
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又是稳定性问题，又是很久没有人回答到点子上。既然有人翻出来，我就继续回答一下。 所谓定点，就是d（xi）/dt=0得点，于是对于你的三个方程，令左边=0，右边即得三元二次方程组。求解这个方程组会了吧？ 要进行稳定性分析，假定某个定点为（x10,x20,x30），加入小扰动后，将（x10+x1'',x20+x2'',x30+x3''）代入方程组，考虑（x10,x20,x30）满足原方程，并忽略x1'',x2'',x3''的高阶项。即可得到x1'',x2'',x3''的一阶齐次线性方程组，令xi''=xia exp(-sigma t)，带入原方程，然后由于xia必须纯在非平凡解，所以其系数矩阵行列式=0.于是就可以求得sigma，一般有三个解。令sigma1>=sigma2>=sigma3。当sigma3>0，那么xia exp(-sigma t)是随时间衰减的函数，所以系统是稳定的。只要其中有一个是小于零，即sigma3<0，则xia exp(-sigma t)至少有一个解是随时间增长的，系统不稳定。如果sigma1=sigma2=sigma3=0，则系统是中性稳定的。 |
6楼2013-02-19 23:53:12