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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 急求几个代数拓扑题~
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

[求助] 急求几个代数拓扑题~

1、证明S^(infinity)是可缩空间.
2、证明：(S^1)*(S^1)=S^3,更一般地，（S^m)*(S^n)=S^(m+n+1).
3、证明：克莱因瓶同伦等价于(S^1)V(S^1)V(S^2)

感谢大神援助~
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1楼2012-08-30 05:29:46
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aggieatm

铁杆木虫 (文坛精英)
你计算数学的怎么跑来学代数拓扑了？我在数学版可很少遇上有询问代数拓扑问题的。
我不是大神，也不需要你的金币啊。我很开心也有对代数拓扑感兴趣的同仁，试着解答一下哈，如有错误见谅。
1、可以研究S^{\infty}的单形分解或CW-复形结构，或者利用S^{\infty}=colimit{S^n}。
2、这个“*”是什么意思？cartesian product？感觉你只要考虑S^m=one point compactification of R^m.
3、在CW-复形范畴，弱同伦等价=同伦等价。Each homotopy group of a Klein bottle is isomorphic to that of (S^1)V(S^1)V(S^2). Hence they are weakly homotopy equivalent.
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2楼2012-08-31 08:14:33
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aggieatm

铁杆木虫 (文坛精英)
引用回帖:
3楼: Originally posted by thematicsroy at 2012-08-31 23:45:28
非常感谢大神~我现在还在念本科，真正的专业就是数学类，想以后读计算数学的研究生，所以在板块上填自己是这个方向的，但现在还是什么基础课都得强制学啊~_~虽然觉得拓扑挺有趣的，但现在学到代数拓扑觉得好难了@_ ...

我不是“大神”或“大师”之类的啊，还得说一遍，小朋友你很可耐。

第2题原来是“join”，你就用我说的S^m=one point compactification of R^m这个思路能够较快解决。

CW-complex对初学者确实不太容易，但如果你对代数拓扑感兴趣的话，CW-complex可是千古难寻的神兵利器，是代数拓扑界的牛牛人Whitehead一手创立的。很多看起来较难的问题，放进category of CW-complexes就好办了，比如第3题。

个人认为最好的学习途径如下：
先把两本经典书：Dugundji的Topology和Munkres的Topology，钻研透，那么genera topology就没有问题了。如果你对分析感兴趣，可以再加上Kelley的General Topology。
然后进入代数拓扑的砖头书：
Bredon的Topology and Geometry,  
Hatcher的Algebraic Topology，
这两本是geometric flavoring。

Rotman: An introduction to algebraic topology,
May: A concise course in algebraic topology.
上面两本是偏代数角度的，但May的是偏homotopic algebra的，是Quillen的思想，巨难，但威力是核炸弹级别的（即都知道很牛，但都不太会，还没有大规模实地用过），May刚刚写了后续的第二本，叫做More concise course，我正在拜读。

tom Dieck刚出了一本algebraic topology，写得很好，但也是较多地引入了homotopic algebra的观点。Quillen创立的homotopic algebra的内涵连在世的May这样的超牛牛也只能理解个百分之一二（他自己说的），我个人观点认为以后的代数拓扑书肯定是要进行少量调整，按照学科发展趋势，必须加强homotopic algebra的一些观点，比如强调fibration和cofibration。
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4楼2012-09-01 06:18:08
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

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2楼: Originally posted by aggieatm at 2012-08-31 08:14:33
你计算数学的怎么跑来学代数拓扑了？我在数学版可很少遇上有询问代数拓扑问题的。
我不是大神，也不需要你的金币啊。我很开心也有对代数拓扑感兴趣的同仁，试着解答一下哈，如有错误见谅。
1、可以研究S^{\infty} ...

1. 直接看S^{\infty}同伦群可能会更简单（因为全是0，所以直接用whitehead定理可以知道它和一个点同伦等价）。

3. “Hence”？ If you want to use Whitehead theorem, you should construct a map between Klein bottle and (S^1)V(S^1)V(S^2). 换句话说即使两个空间有相同的同伦群，他们也不一定就同伦等价，比较Lens space.
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7楼2012-09-03 21:12:59
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aggieatm

铁杆木虫 (文坛精英)
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8楼: Originally posted by alpha94 at 2012-09-03 21:18:38
多谢提供这么多得的信息啊，不过如果做了这么多的铺垫才学代数拓扑的话，那估计兴趣早就没有了。Hatcher的Algebraic Topology可以直接上，里面的附录含有很多advanced的东西。这个搞完，再搞一个Switzer的那个书几 ...

真正的大神出现，鼓掌！！
不过Switzer那本书的易读性不好（个人观点），内容确实算是比较advanced，有不少印刷错误在里面。
Hatcher的书是可以直接学的，但是如果要把很多细节都弄明白的话恐怕又要回头找Dugundji或Munkres的，比如compactly generated space，代数拓扑的书都是拿来就用，背后的初始证明都弄清楚不容易。我建议如果是脑袋好使的可以快速进入比如localization，triangulated category等比较前沿的内容，如果像我这样思维较慢、智力一般的人恐怕还是要坐下来，把一些“初始”的证明都过一遍。当然，都是基于个人偏好的一些想法，不一定有道理。
这位alpha网友很有水平，称赞。
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11楼2012-09-03 21:31:39
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by aggieatm at 2012-09-03 21:31:39
真正的大神出现，鼓掌！！
不过Switzer那本书的易读性不好（个人观点），内容确实算是比较advanced，有不少印刷错误在里面。
Hatcher的书是可以直接学的，但是如果要把很多细节都弄明白的话恐怕又要回头找Dugund ...

你提供的信息太详细了，十分感谢~
我之前只学过基础拓扑学，现在看的就是Hatcher的Algebraic Topology，果然是过渡有点大（对我来说），经常要去查一些概念，定义什么的，有时候查不到时就十分纠结，都读不下去了。
有时间我就去看看你推荐的书，同时也学习你做学问中的的稳重踏实。
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14楼2012-09-04 01:30:46
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普通回帖

thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by aggieatm at 2012-08-31 08:14:33
你计算数学的怎么跑来学代数拓扑了？我在数学版可很少遇上有询问代数拓扑问题的。
我不是大神，也不需要你的金币啊。我很开心也有对代数拓扑感兴趣的同仁，试着解答一下哈，如有错误见谅。
1、可以研究S^{\infty} ...

非常感谢大神~我现在还在念本科，真正的专业就是数学类，想以后读计算数学的研究生，所以在板块上填自己是这个方向的，但现在还是什么基础课都得强制学啊~_~虽然觉得拓扑挺有趣的，但现在学到代数拓扑觉得好难了@_@
“*”是“jion"的意思，X*Y=(X)X(Y)X(I)/~,其中(x1,y,0)~(x2,y,0),(x,y1,1)~(x,y2,1)
（比如I*I为一个四面体）
现在CW-complex理解的也不是很好，我还是先看看书，如果大神你能推荐书就最好不过了，再次表示感谢~
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3楼2012-08-31 23:45:28
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人民海军

木虫 (职业作家)
据我所知代数拓扑和计算数学很难搭上
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Letbygonesbebygones.
5楼2012-09-02 00:41:02
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人民海军

木虫 (职业作家)
本科生就玩代数拓扑了，很牛啊！想当初读本科的时候点集拓扑都学不懂....强人
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Letbygonesbebygones.
6楼2012-09-02 00:42:03
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by aggieatm at 2012-09-01 06:18:08
我不是“大神”或“大师”之类的啊，还得说一遍，小朋友你很可耐。

第2题原来是“join”，你就用我说的S^m=one point compactification of R^m这个思路能够较快解决。

CW-complex对初学者确实不太容易，但如 ...

多谢提供这么多得的信息啊，不过如果做了这么多的铺垫才学代数拓扑的话，那估计兴趣早就没有了。Hatcher的Algebraic Topology可以直接上，里面的附录含有很多advanced的东西。这个搞完，再搞一个Switzer的那个书几乎差不多的代数拓扑基本的东西都应该知道了。

fibration当然可以直接来讲得，这也是现在流行的讲代数拓扑方法（即fibration --> homotopy theory --->（generalized） homology）, 和经典的先覆盖空间，再同调，后同伦的很不一样的。
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8楼2012-09-03 21:18:38
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aggieatm

铁杆木虫 (文坛精英)
引用回帖:
7楼: Originally posted by alpha94 at 2012-09-03 21:12:59
1. 直接看S^{\infty}同伦群可能会更简单（因为全是0，所以直接用whitehead定理可以知道它和一个点同伦等价）。

3. “Hence”？ If you want to use Whitehead theorem, you should construct a map between Kle ...

嗯，讲得都非常好。
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9楼2012-09-03 21:20:27
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

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5楼: Originally posted by 人民海军 at 2012-09-02 00:41:02
据我所知代数拓扑和计算数学很难搭上

代数拓扑是很有用的，在信息学和计算数学都是，  http://citeseerx.ist.psu.edu/vie ... p=rep1&type=pdf。

还有Smale的一系列文章，有兴趣的可以去google他。

所以，对于俺们年轻人，不要心里故意设置一些人为的界限，只要是知识就是永远有用的，特别是数学。很多时候，我们只是还不知道怎么运用罢了。呵呵
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10楼2012-09-03 21:24:16
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