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Gnaixil

新虫 (初入文坛)

[求助] 请教一个关于矩阵的秩的问题

请问有矩阵A, B。则AB的秩满足
rank(AB)<=min{rank(A), rank(B)}.
请问等式成立的相关条件是什么？必要条件充分条件都可以，只要有点帮助。或者提示下相关的资料。非常感谢。
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1楼2012-08-15 23:19:38
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ybbhigeje

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+1, 鼓励应助 2012-08-16 09:02:08
Gnaixil: 金币+1, ★有帮助, 谢谢参与 2012-08-16 16:52:42
条件为：设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则rank(AB)<=min{rank(A), rank(B)}。
   告诉你这几个结论吧：rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}，即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个。   所以你补充的另一条 “B的秩永远大于等于BA的秩”是对的
它有一个这样的规律：矩阵进行乘积运算以后，秩有变小的趋势
    一般遇到的是在A方阵情况下，当A可逆时，rank(AB)=rank(B)。
      更一般的结论：A列满秩时上式就能成立（可逆是列满秩的一个特例）。
    当B可逆时，rank(AB)=rank(A)，即当有一个可逆时，会出现等号。
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2楼2012-08-16 08:59:30
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itachi32167

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
Gnaixil: 金币+1, ★有帮助, 谢谢参与 2012-08-16 16:52:58
矩阵的秩都是越乘越不会变大的，这点要说明下。还有等号成立条件就是其中有一个是可逆的举证就行。
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3楼2012-08-16 10:15:17
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Gnaixil

新虫 (初入文坛)
Gnaixil: 回帖置顶 2012-08-16 14:59:48
感谢楼上两位的说明。可能是我没有描述清楚。
我想问的是什么情况下rank(AB)=min{rank(A), rank(B)}成立。
这个与rank(AB)=rank(A)不太一样。
另外我的实际问题中， 假设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵, 有m
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4楼2012-08-16 14:34:10
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
Gnaixil: 金币+1, ★有帮助, 谢谢参与 2012-08-16 16:53:12
等式成立的充要条件是A，B的秩相等且等于行数和列数小的那个
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Letbygonesbebygones.
5楼2012-08-16 14:52:25
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人民海军

木虫 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 人民海军 at 2012-08-16 14:52:25
等式成立的充要条件是A，B的秩相等且等于行数和列数小的那个

错了，这里不需要R(A)=R(B）。但是只要min{R(A)，R(B)}=min(m,n)即可。证明的话可以吧秩小的那个分块，分一个可逆的方阵出来，然后做分块矩阵乘法即可
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Letbygonesbebygones.
6楼2012-08-16 14:58:41
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Gnaixil

新虫 (初入文坛)
我觉得楼上的说法好像不太对。
反例 (1 0 0; 0 0 1)*(1 0; 0 1; 0 0)， 结果为(1 0; 0 0)
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7楼2012-08-16 15:05:07
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Gnaixil

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 人民海军 at 2012-08-16 14:58:41
错了，这里不需要R(A)=R(B）。但是只要min{R(A)，R(B)}=min(m,n)即可。证明的话可以吧秩小的那个分块，分一个可逆的方阵出来，然后做分块矩阵乘法即可...

我觉得此法不成立的原因在于矩阵分块相乘以后还有个加法，这一步的秩也不好说。
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8楼2012-08-16 15:15:00
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Gnaixil

新虫 (初入文坛)
小顶一下 请高手支招
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9楼2012-08-17 14:56:32
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Gnaixil

新虫 (初入文坛)
自己再顶顶 继续等
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10楼2012-08-20 15:28:05
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