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chjy02木虫 (小有名气)
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[求助]
求助一个向量范数的不等式问题!
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图片中的这个向量范数不等式怎么证明? 什么书上有这个题目?谢谢帮助!请写出证明思路,好吗?  [ Last edited by chjy02 on 2012-7-11 at 16:49 ] |
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tigertooth4
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【答案】应助回帖
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要利用凸函数的性质：不妨假设 xᵢ 都非负（范数的话应该是 可能作者漏掉了）。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 ： (∑ yᵢ^a)^(1/a) ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) , a = p₁ / p₂ 设 f(x) = x^a, a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。 显然 f(x) 是上凸函数，所以有 即 (∑ yᵢ^a ) ≤ n^(1-a) (∑ yᵢ )^a 左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。 对于第一个不等式，假设 λ 为 x 的 p₂ 范数，则要证明： 即 注意到 从而就证明了第一个不等号。 |
3楼2012-07-11 22:04:37
tigertooth4
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+5, 数学EPI+1, 谢谢~ 2012-07-12 14:11:41
小雨萌萌: 好多害羞的图像~ 2012-07-12 14:12:43
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小雨萌萌: 好多害羞的图像~ 2012-07-12 14:12:43
要利用凸函数的性质：不妨假设 xᵢ 都非负（范数的话应该是 (Σ |xᵢ|^p₂ ^{1/p₂}，可能作者漏掉了）。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 ： (∑ yᵢ^a)^(1/a) ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) , a = p₁ / p₂ 设 f(x) = x^a, a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。 显然 f(x) 是上凸函数，所以有 1/n [ f(y₁ + f(y₂ + ... + f(yn) ] ≤ f [ (y₁ + y₂ + ... + yn)/n ] 即 (∑ yᵢ^a ) ≤ n^(1-a) (∑ yᵢ )^a 左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。 对于第一个不等式，假设 λ 为 x 的 p₂ 范数，则要证明： λ ≤ [∑ xᵢ ^(p₁ ]^(1/p₁即 1 ≤ [∑ (xᵢ / λ)^(p₁ ]^(1/p₁。 注意到 ∑ (xᵢ / λ)^(p₂ = 1 ，所以 [∑ (xᵢ / λ)^(p₁] ≥ 1 ，开 p₁ 次方以后仍然 ≥ 1. 从而就证明了第一个不等号。 |
2楼2012-07-11 21:55:03
4楼2012-07-11 23:34:28