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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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小雨萌萌: 金币+5, 数学EPI+1, 谢谢~ 2012-07-12 14:11:41
小雨萌萌: 好多害羞的图像~ 2012-07-12 14:12:43
要利用凸函数的性质:不妨假设  xᵢ 都非负(范数的话应该是 (Σ |xᵢ|^p₂^{1/p₂},
可能作者漏掉了)。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 :

            (∑ yᵢ^a)^(1/a)  ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) ,            a = p₁ / p₂

设 f(x) = x^a,  a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。 显然 f(x) 是上凸函数,所以有

       1/n  [  f(y₁ + f(y₂ + ... + f(yn) ]   ≤   f  [ (y₁ + y₂ + ... + yn)/n ]   

           (∑ yᵢ^a )  ≤   n^(1-a)  (∑ yᵢ )^a  

左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。

对于第一个不等式,假设  λ 为 x 的 p₂ 范数,则要证明:

          λ  ≤   [∑ xᵢ ^(p₁]^(1/p₁

即   1 ≤   [∑   (xᵢ / λ)^(p₁]^(1/p₁

注意到 ∑   (xᵢ / λ)^(p₂ = 1 ,所以  [∑   (xᵢ / λ)^(p₁] ≥ 1 ,开 p₁ 次方以后仍然 ≥ 1.
从而就证明了第一个不等号。
2楼2012-07-11 21:55:03
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