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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
应助: 4 (幼儿园)
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虫号: 1869183
注册: 2012-06-25
专业: 数学物理

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+5, 数学EPI+1, 谢谢~ 2012-07-12 14:11:41
小雨萌萌: 好多害羞的图像~ 2012-07-12 14:12:43

要利用凸函数的性质：不妨假设 xᵢ 都非负（范数的话应该是 (Σ |xᵢ|^p₂

^{1/p₂}，
可能作者漏掉了）。设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成：

         (∑ yᵢ^a)^(1/a)  ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) ,          a = p₁ / p₂

设 f(x) = x^a,  a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。显然 f(x) 是上凸函数，所以有

   1/n  [  f(y₁

+ f(y₂

+ ... + f(yn) ] ≤ f  [ (y₁ + y₂ + ... + yn)/n ]
即
         (∑ yᵢ^a )  ≤ n^(1-a)  (∑ yᵢ )^a

左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。

对于第一个不等式，假设  λ 为 x 的 p₂ 范数，则要证明：

      λ  ≤ [∑ xᵢ ^(p₁

]^(1/p₁

即 1 ≤ [∑ (xᵢ / λ)^(p₁

]^(1/p₁

。

注意到 ∑ (xᵢ / λ)^(p₂

= 1 ，所以 [∑ (xᵢ / λ)^(p₁

] ≥ 1 ，开 p₁ 次方以后仍然 ≥ 1.
从而就证明了第一个不等号。