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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个向量范数的不等式问题!
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chjy02

木虫 (小有名气)

[求助] 求助一个向量范数的不等式问题!

图片中的这个向量范数不等式怎么证明?
什么书上有这个题目?谢谢帮助!请写出证明思路,好吗?


[ Last edited by chjy02 on 2012-7-11 at 16:49 ]
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1楼2012-07-11 16:48:14
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+5, 数学EPI+1, 谢谢~ 2012-07-12 14:11:41
小雨萌萌: 好多害羞的图像~ 2012-07-12 14:12:43
要利用凸函数的性质：不妨假设  xᵢ 都非负（范数的话应该是 (Σ |xᵢ|^p₂^{1/p₂}，
可能作者漏掉了）。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 ：

            (∑ yᵢ^a)^(1/a)  ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) ,            a = p₁ / p₂

设 f(x) = x^a,  a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。 显然 f(x) 是上凸函数，所以有

       1/n  [  f(y₁ + f(y₂ + ... + f(yn) ]   ≤   f  [ (y₁ + y₂ + ... + yn)/n ]   
即
           (∑ yᵢ^a )  ≤   n^(1-a)  (∑ yᵢ )^a  

左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。

对于第一个不等式，假设  λ 为 x 的 p₂ 范数，则要证明：

          λ  ≤   [∑ xᵢ ^(p₁]^(1/p₁

即   1 ≤   [∑   (xᵢ / λ)^(p₁]^(1/p₁。

注意到 ∑   (xᵢ / λ)^(p₂ = 1 ，所以  [∑   (xᵢ / λ)^(p₁] ≥ 1 ，开 p₁ 次方以后仍然 ≥ 1.
从而就证明了第一个不等号。
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2楼2012-07-11 21:55:03
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

引用回帖:
2楼: Originally posted by tigertooth4 at 2012-07-11 21:55:03
要利用凸函数的性质：不妨假设  xᵢ 都非负（范数的话应该是 (Σ |xᵢ|^p₂^{1/p₂}，
可能作者漏掉了）。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 ：

         ...

要利用凸函数的性质：不妨假设  xᵢ 都非负（范数的话应该是 ，
可能作者漏掉了）。 设 yᵢ = xᵢ^p₂ , 则要证的第二个不等式可以写成 ：

            (∑ yᵢ^a)^(1/a)  ≤ n^(1/a - 1) (∑ yᵢ ) ,            a = p₁ / p₂

设 f(x) = x^a,  a = p₁ / p₂ ∈ (0,1]。 显然 f(x) 是上凸函数，所以有

         
即
           (∑ yᵢ^a )  ≤   n^(1-a)  (∑ yᵢ )^a  

左右两边同时开 a 次方就证明了第二个不等式。

对于第一个不等式，假设  λ 为 x 的 p₂ 范数，则要证明：

         

即    

注意到 ，所以   ，开 p₁ 次方以后仍然 ≥ 1.
从而就证明了第一个不等号。
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3楼2012-07-11 22:04:37
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