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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一个积分用留数定理计算的问题
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touchingdizi

木虫 (正式写手)

[求助] 请教一个积分用留数定理计算的问题

如图的积分，这个积分里面含有绝对值，我当成复数的模来处理，用留数定理计算，积分选择的围道是实轴（-R，R），然后是在上半复平面以R为半径的半圆，组成闭合路径，最后R趋于无穷。请问这样的计算方法有没有问题，如果有，应该怎么计算，谢谢。注：这里的参数1<λ <2，a,b>0。


[ Last edited by touchingdizi on 2012-7-4 at 09:42 ]
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1楼 2012-07-04 09:39:23
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
touchingdizi: 金币+2, ★★★很有帮助, 谢谢！ 2012-07-04 10:43:30
有问题，因为变量加了模运算以后一般都不解析了。你要看看被积函数是不是解析的
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Letbygonesbebygones.
2楼2012-07-04 10:38:43
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-07-04 14:45:52
touchingdizi: 金币+1, ★★★很有帮助 2012-07-05 09:03:05
可以将积分区间分为[0,infinity)和(-infinity, 0]得到二个积分, 当k>0时, |k|=k, k<0时, |k|=-k, 这样对每个积分，被积函数就解析了，仍然可以用留数积分了。
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3楼2012-07-04 13:05:03
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touchingdizi

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by xxxfield at 2012-07-04 13:05:03
可以将积分区间分为得到二个积分, 当k>0时, |k|=k, k<0时, |k|=-k, 这样对每个积分，被积函数就解析了，仍然可以用留数积分了。

这两个积分分别计算时,用留数定理如何选择围道路径呢?
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4楼2012-07-04 15:03:06
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人民海军

木虫 (职业作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by xxxfield at 2012-07-04 13:05:03
可以将积分区间分为得到二个积分, 当k>0时, |k|=k, k<0时, |k|=-k, 这样对每个积分，被积函数就解析了，仍然可以用留数积分了。

你确定被积函数只是在原点不解析么？
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Letbygonesbebygones.
5楼2012-07-04 20:38:32
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
touchingdizi: 金币+1, ★★★很有帮助 2012-07-05 11:50:33
引用回帖:
4楼: Originally posted by touchingdizi at 2012-07-04 15:03:06
这两个积分分别计算时,用留数定理如何选择围道路径呢?...

[0,infinity)上积分的围道就是通常的大圆去掉正实轴再去掉原点的小圆。(-infinity, 0]上积分作变量代换-k -> s变为[0,infinity)上积分，作同样的围道。不知道如何上传文件，难以写清楚。
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6楼2012-07-05 10:33:45
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touchingdizi

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by xxxfield at 2012-07-05 10:33:45
上积分作变量代换-k -> s变为[0,infinity)上积分，作同样的围道。不知道如何上传文件，难以写清楚。...

但是积分里面包含e^ik,这样整个大圆既有上半平面又有下半平面的，下半平面的半圆，当半径趋于无穷时，这个上面的积分无法变成零吧的？



文件可以用网盘传一下，迅雷快传的
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7楼2012-07-05 11:49:56
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xxxfield

银虫 (小有名气)
★
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-10-25 15:49:14
引用回帖:
7楼: Originally posted by touchingdizi at 2012-07-05 11:49:56
但是积分里面包含e^ik,这样整个大圆既有上半平面又有下半平面的，下半平面的半圆，当半径趋于无穷时，这个上面的积分无法变成零吧的？



文件可以用网盘传一下，迅雷快传的...

嗯，这是一个问题，我只想着让被积函数变得解析，没有关心被积函数有e^ik项。有e^ik项不能用整个圆周作围道，你是对的。
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8楼2012-07-05 17:58:00
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touchingdizi

木虫 (正式写手)
顶一下，有没有能解决的兄弟姐妹啊，金币可以加的哦
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9楼2012-07-15 11:33:16
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heinzb

银虫 (正式写手)
有问题
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先知启示我
10楼2012-08-15 22:46:00
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