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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 100金币求助求特征值的问题[已完结]
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jinyuan1628

金虫 (小有名气)

[求助] 100金币求助求特征值的问题[已完结]

如何证明一个主对角线为1的上三角矩阵（对角线以上的部分都不为0）乘上它的转置得到的矩阵的特征值无异

[ Last edited by nono2009 on 2011-12-20 at 07:38 ]
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1楼 2011-12-17 10:47:58
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
第一步，证明A左乘其转置和右乘其转置得到的矩阵的特征值相同
第二步，A的特征值都是1，所以只需要证明A左乘或右乘其转置的特征值都是1
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比菜鸟强一点点
2楼2011-12-17 14:26:40
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jinyuan1628

金虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
nono2009(金币-50): 代发进步 2011-12-20 07:38:27
引用回帖:
2楼: Originally posted by sukiyq at 2011-12-17 14:26:40:
第一步，证明A左乘其转置和右乘其转置得到的矩阵的特征值相同
第二步，A的特征值都是1，所以只需要证明A左乘或右乘其转置的特征值都是1

如何证明一个主对角线为1的上三角矩阵（对角线以上的部分都不为0）乘上它的转置得到的矩阵的特征值互不相同，
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3楼2011-12-17 15:07:33
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jinyuan1628

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jinyuan1628 at 2011-12-17 15:07:33:
如何证明一个主对角线为1的上三角矩阵（对角线以上的部分都不为0）乘上它的转置得到的矩阵的特征值互不相同，

2楼，我写错了，是如何证明一个主对角线为1的上三角矩阵（对角线以上的部分都不为0）乘上它的转置得到的矩阵的特征值无异，请详细说明一下
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4楼2011-12-17 15:09:29
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sukiyq

木虫 (小有名气)
证明矩阵左乘或右乘其转置得到的矩阵的非0特征值相同比较容易
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比菜鸟强一点点
5楼2011-12-17 15:30:53
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
nono2009(金币+40): 代发金币50，扣税20% 2011-12-20 07:39:05
引用回帖:
5楼: Originally posted by sukiyq at 2011-12-17 15:30:53:
证明矩阵左乘或右乘其转置得到的矩阵的非0特征值相同比较容易

1.

a



b
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

jinyuan1628
比菜鸟强一点点
6楼2011-12-17 15:32:30
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jinyuan1628

金虫 (小有名气)
送鲜花一朵
引用回帖:
楼: Originally posted by sukiyq at 2011-12-17 15:32:30:
1.

a

b

楼上，证明A左乘其转置和右乘其转置得到的矩阵的特征值相同
就能说明G×G'=B，B的所有特征值都不相同吗？（其中G是对角线为1的上三角矩阵），你说的A就是我说的矩阵G吗？请赐教
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7楼2011-12-18 19:06:22
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

不，上边只是说明AB和BA的特征值相同，这个问题的主要部分还没有证明，就是证明A*A转置的特征值都是1，这个还没有证明，我也不知道怎么证明
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比菜鸟强一点点
8楼2011-12-19 12:54:51
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
nono2009(金币+3): 鼓励应助 2011-12-20 07:39:23
A为一个矩阵，一定存在正交矩阵P，使得P'AP为若当型
如果A满足本题给定的条件，则A的若当标准型为一个若当块J（对角线上1，对角线下方一个元素也为1，其他元素为零）。而P'AA'P与AA'特征值相同。
P'AA'P=P'APP'A'P=(P'AP)(P'AP)'=JJ'。所以只需验证JJ'的牲征值即可。
即：对角线元素为：1,2,2,.....,2,2，对角线上方和下方元素为1的矩阵的特征值。
这应该比原来的简单一点点儿了吧
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9楼2011-12-19 21:11:20
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
都是高手啊！！！
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10楼2011-12-19 21:22:30
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