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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教极限问题
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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] 求教极限问题

当x趋向于0时，1/cosx-1与x平方/2等价。1.当x趋向于0时，cosx趋向于1，1/cosx-1=1/1-1=0，但这样的结果是错误的。2.先通分，1/cosx-1=（1-cosx）/cosx，1-cosx=2sin平方x/2，等价于x平方/2，而分母的cosx趋向于1，这样得到的x平方/2是正确的。为什么第一种解法会错误？
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1楼 2011-07-13 20:00:33
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌(金币+1): 谢谢应助回帖哟~ 2011-07-14 16:44:36
KZ1425(金币+10): 金币给不jfili，给版主好了~~~ 2011-07-14 17:04:34
在第一种情况下，0/0型你是没有办法判断它的极限，所以你就得换一种方法
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
2楼2011-07-13 20:05:35
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KZ1425

木虫 (著名写手)
soliton923: 呵呵，我看错了，还以为是这是分子，分母是想x^2~~^_^ 2011-07-13 21:05:45
引用回帖:
Originally posted by soliton923 at 2011-07-13 20:05:35:
在第一种情况下，0/0型你是没有办法判断它的极限，所以你就得换一种方法

1/cosx-1=1/1-1=0,这样不是0/0型吧？
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3楼2011-07-13 20:08:53
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jfili

金虫 (正式写手)
soliton923: 谢谢专家参与讨论 2011-07-13 21:06:00
第一种方法是可以说明1/cosx-1趋近于零，是无穷小量。这没错的
可是，问题是让你求这个无穷小等价的无穷小量
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4楼2011-07-13 20:43:00
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-13 20:43:00:
第一种方法是可以说明1/cosx-1趋近于零，是无穷小量。这没错的
可是，问题是让你求这个无穷小等价的无穷小量

我看到有道这样的题目：x趋向于0时，求（tanx-sinx）/（x的三次方）。如果把tanx看成sinx/cosx，x趋向于0时，cosx=1，那么tanx=sinx。于是（tanx-sinx）/（x的三次方）的分子部分变为sinx-sinx=0，但这样的结果也是错误的。所以这里把cosx看成1也是不行的，为什么会不行？
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5楼2011-07-13 20:55:57
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jfili

金虫 (正式写手)
tanx不能用sinx代替，是因为这是两个无穷小的差
两个无穷小的差仍然是无穷小，如果用等价无穷小代换的话，就无法衡量这个无穷小收敛的速度了
举个例子来说：
我们知道当x收敛于０时，x是等价无穷小，x-x^2也是等价无穷小，而他们的差虽仍然是无穷小，却是和x^2等价的，而如果用前者代替后者，那么差的收敛速度就被掩盖了
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6楼2011-07-13 21:09:33
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3): 谢谢应助回帖哟~ 2011-07-14 16:44:54
好的，上面的贴子多写了几个字，还不能在原贴子修改。

tanx不能用sinx代替，是因为这是两个无穷小的差
两个无穷小的差仍然是无穷小，如果用等价无穷小代换的话，就无法衡量这个无穷小收敛的速度了
举个例子来说：
我们知道当x收敛于０时，x是无穷小，x-x^2也是无穷小，而他们的差虽仍然是无穷小，却是和x^2等价的，而如果用前者代替后者，那么差的收敛速度就被掩盖了
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7楼2011-07-13 21:12:25
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果冻骐骐

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌(金币+1): 谢谢应助回帖哟~ 2011-07-14 16:45:02
第一种计算方法也是正确的，随时注意分母不为零的时候就可以直接带进去求极限，就是要真正理解极限运算的四则运算法则，只有当极限都存在时才可以用，并且注意分母不为零的时候就可以。
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乐观、宽容、积极向上
8楼2011-07-14 16:36:01
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2011-07-13 21:12:25:
好的，上面的贴子多写了几个字，还不能在原贴子修改。

tanx不能用sinx代替，是因为这是两个无穷小的差
两个无穷小的差仍然是无穷小，如果用等价无穷小代换的话，就无法衡量这个无穷小收敛的速度了
举个例子来 ...

明白了，谢谢
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9楼2011-07-14 17:01:39
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saheya

铁虫 (初入文坛)
原问题的第一种做法也是正确的，连续函数的极限直接带入即可；
对于等价无穷小的想减需要谨慎，必须体现他俩个的差才可以，一般都用泰勒公式展开计算是最方便的；
希望对你有帮助！
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10楼2011-07-17 17:33:24
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