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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】微分的两个问题
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BlueMage

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】微分的两个问题

1）f: R--->R 满足 任何实数u,v, c>0, |f(u)-f(v)| 小于等于c(u-v)^2
证明f 是个常值函数

2）f: R--->R 满足 对任何x, f(x)小于等于0, f"(x)大于等于0
证明f 是个常值函数

谢谢大家

[ Last edited by BlueMage on 2011-3-2 at 00:50 ]
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1楼 2011-03-02 00:29:14
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
BlueMage(金币+10): 谢谢，关于（1），怎么证明f'(x)存在呢？是用夹挤定理证明极限值存在，对吗？ 2011-03-02 12:20:55
1).按照导数的定义可得f'(x)恒等于零，故f(x)恒等于C


2).f''(x)>=0 => f'(x)在R上单调增，反证：

若存在a使得f'(a)=c>0,则x>a时有f'(x)>=c,由拉格朗日定理，x>a时有(其中y为（a，x）内一点)：f(x)=f(a)+f'(y)(x-a)>=f(a)+c(x-a) ，故x趋于正无穷时f(x)亦趋于正无穷，与f(x)<=0矛盾。类似可得不存在b使得f'(b)<0,故f'(x)恒为零 =>f(x)恒等于C
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4楼2011-03-02 02:55:34
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BlueMage

金虫 (小有名气)
好像是叫 常值函数..
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3楼2011-03-02 00:49:53
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onesupeng

金虫 (职业作家)
BlueMage(金币+1): 谢谢，如果不需要用到f'(x)恒等于零,可以具体一点么？ 2011-03-02 12:22:34
第一个考虑反证法
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6楼2011-03-02 09:15:34
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just_play

至尊木虫 (正式写手)

关于(1)

由题目条件，对于任意的x, x_0有：|(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)|<=c|x_0-x|,

固定x_0, 则x -> x_0时上式左端极限存在且为0，故f'(x_0)存在且为0
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7楼2011-03-02 14:36:55
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