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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于外测度，自己猜想的一个性质？请大虾看看对不对
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】关于外测度，自己猜想的一个性质？请大虾看看对不对

关于外测度，自己猜想的一个性质，如下所示，请大虾看看对不对?
另外两个集合A、B是否可测应该不对此性质有影响？
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1楼 2011-01-26 11:06:20
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+8): 2011-01-28 08:39:31
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2楼2011-01-27 19:19:00
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
Just_play 大虾，有两个问题继续请教一下大虾,请大虾指教：
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2011-01-27 19:19:00:
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3楼2011-01-28 08:37:54
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-28 08:37:54:
Just_play 大虾，有两个问题继续请教一下大虾,请大虾指教：



（1）一般情况下是<=,那个反例是为了说明存在严格的<。

（2）d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件，比如令：

  A=(0,1),B=[1,2],有m*(A并B)=m*(A)+m*(B)=2但d(A,B)=0
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4楼2011-01-28 13:38:56
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
Just_play大虾，我还有两点疑问：
（1）你说的“d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件”，但“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。可以这样理解吧？
（2）外测度的次可列可加性，当等号成立时，它的充分必要条件是什么？即下式等号成立的充分必要条件是什么？是集合Ai都可测么，还是别的？
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2011-01-28 13:38:56:


（1）一般情况下是<=,那个反例是为了说明存在严格的<。

（2）d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件，比如令：

  A=(0,1),B=[1,2],有m*(A并B)=m*(A)+m*(B)=2但d(A,B)=0

[ Last edited by rainbowguy on 2011-1-28 at 15:37 ]
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5楼2011-01-28 15:27:22
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+1): 2011-01-28 23:05:55
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-28 15:27:22:
Just_play大虾，我还有两点疑问：
（1）你说的“d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件”，但“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。可以这样理解吧？
（2）外测度的次可列可加性， ...

（1）对的

（2）我不知道充要条件是什么。但是集合Ai都可测只是等号成立的充分条件而不是必要条件：若A1为不可测集，Ai(i>=2)为零测集，则等号仍成立。
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6楼2011-01-28 16:31:28
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newton19722005

金虫 (小有名气)
rainbowguy(金币+6): 2011-01-28 23:10:18
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
叫充分条件不十分恰当
在距离空间中,满足这个条件的外测度称为距离外测度
欧式空间R^n中的Lebesgue测度就是一个距离外测度
距离外测度是空间的拓扑结构(距离)与测度结构相协调的测度
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7楼2011-01-28 19:10:28
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
大虾说的有些深奥，有两点不明白：
（1）“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
为什么大虾认为“叫充分条件不十分恰当”，能不能详细解释一下。
（2）我对最后一句不太明白，“距离外测度是空间的拓扑结构（距离）和测度结构相协调的测度 ”？
  大虾能否将最后一句再详细解释一下，谢谢 ！
引用回帖:
Originally posted by newton19722005 at 2011-01-28 19:10:28:
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
叫充分条件不十分恰当
在距离空间中,满足这个条件的外测度称为距离外测度
欧式空间R^n中的Lebesgue测度就是一个距离外测度
距离外测度是空间的拓扑结 ...

[ Last edited by rainbowguy on 2011-1-28 at 23:12 ]
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8楼2011-01-28 23:09:12
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newton19722005

金虫 (小有名气)
rainbowguy(金币+3): 2011-01-29 17:25:21
R^n中的Lebesgue外测度不但是一个外测度, 还满足
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)”。从而R^n中的Lebesgue外测度
是一个距离外测度. 利用这一点可以证明R^n中的开矩形是Lebesgue可测的(当然也可以通过组合方法证明之一点,不过要做的严格很复杂,也不利于推广), 进而R^n中一切开集(进而Borel集)都是Lebesgue可测的.  开集是用来描述空间拓扑的, 开集都可测当然反映了测度结构与拓扑结构（距离）的协调.

把d(A,B)>0当做m*(A并B)=m*(A)+m*(B)成立的充分条件来理解(在R^n中对Lebesgue外测度),我认为偏离了数学本质.

学习数学不要希望毕其功于一役, 先找一本书念下来, 可以留下一些知其然不知其所以然的较深层的问题, 在日后反复加深为好
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9楼2011-01-29 11:16:31
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
多谢newton19722005大侠的指教和中肯的建议！
以后自己需努力的地方还很多。。。
引用回帖:
Originally posted by newton19722005 at 2011-01-29 11:16:31:
R^n中的Lebesgue外测度不但是一个外测度, 还满足
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)”。从而R^n中的Lebesgue外测度
是一个距离外测度. 利用这一点可以证明R^n中的开矩形是Lebesgue可测的(当然也可以通过 ...

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10楼2011-01-29 17:25:02
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