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rainbowguy

银虫 (正式写手)


[交流] 【求助】关于外测度,自己猜想的一个性质?请大虾看看对不对

关于外测度,自己猜想的一个性质,如下所示,请大虾看看对不对?
另外两个集合A、B是否可测应该不对此性质有影响?
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rainbowguy(金币+8): 2011-01-28 08:39:31
2楼2011-01-27 19:19:00
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rainbowguy

银虫 (正式写手)


Just_play 大虾,有两个问题继续请教一下大虾,请大虾指教:
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2011-01-27 19:19:00:

3楼2011-01-28 08:37:54
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Originally posted by rainbowguy at 2011-01-28 08:37:54:
Just_play 大虾,有两个问题继续请教一下大虾,请大虾指教:



(1)一般情况下是<=,那个反例是为了说明存在严格的<。

(2)d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件,比如令:

  A=(0,1),B=[1,2],有m*(A并B)=m*(A)+m*(B)=2但d(A,B)=0
4楼2011-01-28 13:38:56
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rainbowguy

银虫 (正式写手)


Just_play大虾,我还有两点疑问:
(1)你说的“d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件”,但“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。可以这样理解吧?
(2)外测度的次可列可加性,当等号成立时,它的充分必要条件是什么?即下式等号成立的充分必要条件是什么?是集合Ai都可测么,还是别的?
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2011-01-28 13:38:56:


(1)一般情况下是<=,那个反例是为了说明存在严格的<。

(2)d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件,比如令:

  A=(0,1),B=[1,2],有m*(A并B)=m*(A)+m*(B)=2但d(A,B)=0

[ Last edited by rainbowguy on 2011-1-28 at 15:37 ]
5楼2011-01-28 15:27:22
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rainbowguy(金币+1): 2011-01-28 23:05:55
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-28 15:27:22:
Just_play大虾,我还有两点疑问:
(1)你说的“d(A,B)>0并不是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的必要条件”,但“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。可以这样理解吧?
(2)外测度的次可列可加性, ...

(1)对的

(2)我不知道充要条件是什么。但是集合Ai都可测只是等号成立的充分条件而不是必要条件:若A1为不可测集,Ai(i>=2)为零测集,则等号仍成立。
6楼2011-01-28 16:31:28
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newton19722005

金虫 (小有名气)


rainbowguy(金币+6): 2011-01-28 23:10:18
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
叫充分条件不十分恰当
在距离空间中,满足这个条件的外测度称为距离外测度
欧式空间R^n中的Lebesgue测度就是一个距离外测度
距离外测度是空间的拓扑结构(距离)与测度结构相协调的测度
7楼2011-01-28 19:10:28
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rainbowguy

银虫 (正式写手)


大虾说的有些深奥,有两点不明白:
(1)“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
为什么大虾认为“叫充分条件不十分恰当”,能不能详细解释一下。
(2)我对最后一句不太明白,“距离外测度是空间的拓扑结构(距离)和测度结构相协调的测度 ”?
  大虾能否将最后一句再详细解释一下,谢谢 !
引用回帖:
Originally posted by newton19722005 at 2011-01-28 19:10:28:
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)的充分条件”。
叫充分条件不十分恰当
在距离空间中,满足这个条件的外测度称为距离外测度
欧式空间R^n中的Lebesgue测度就是一个距离外测度
距离外测度是空间的拓扑结 ...

[ Last edited by rainbowguy on 2011-1-28 at 23:12 ]
8楼2011-01-28 23:09:12
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newton19722005

金虫 (小有名气)


rainbowguy(金币+3): 2011-01-29 17:25:21
R^n中的Lebesgue外测度不但是一个外测度, 还满足
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)”。从而R^n中的Lebesgue外测度
是一个距离外测度. 利用这一点可以证明R^n中的开矩形是Lebesgue可测的(当然也可以通过组合方法证明之一点,不过要做的严格很复杂,也不利于推广), 进而R^n中一切开集(进而Borel集)都是Lebesgue可测的.  开集是用来描述空间拓扑的, 开集都可测当然反映了测度结构与拓扑结构(距离)的协调.

把d(A,B)>0当做m*(A并B)=m*(A)+m*(B)成立的充分条件来理解(在R^n中对Lebesgue外测度),我认为偏离了数学本质.

学习数学不要希望毕其功于一役, 先找一本书念下来, 可以留下一些知其然不知其所以然的较深层的问题, 在日后反复加深为好
9楼2011-01-29 11:16:31
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rainbowguy

银虫 (正式写手)


多谢newton19722005大侠的指教和中肯的建议!
以后自己需努力的地方还很多。。。
引用回帖:
Originally posted by newton19722005 at 2011-01-29 11:16:31:
R^n中的Lebesgue外测度不但是一个外测度, 还满足
“d(A,B)>0一定是m*(A并B)=m*(A)+m*(B)”。从而R^n中的Lebesgue外测度
是一个距离外测度. 利用这一点可以证明R^n中的开矩形是Lebesgue可测的(当然也可以通过 ...

10楼2011-01-29 17:25:02
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