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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】怎么理解证明E为可测集的另一种方式？
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】怎么理解证明E为可测集的另一种方式？

如下图所示，
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1楼2011-01-12 10:24:51
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chengwan

木虫 (初入文坛)
谁这样证明？
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2楼2011-01-12 10:41:24
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by chengwan at 2011-01-12 10:41:24:
谁这样证明？

下图为证明过程：
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3楼2011-01-12 10:55:58
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
E 是可测集，这是已知的题设条件，不是要证明的结论，要证明的结论是 f 为可测函数 。
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4楼2011-01-12 11:06:14
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
证明可测函数前，要证明E(f 关键是上面证明E(f 的方法。也就是第二种方式，请解释下，为什么这种方式能证明是可测集？
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-12 11:06:14:
E 是可测集，这是已知的题设条件，不是要证明的结论，要证明的结论是 f 为可测函数 。

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5楼2011-01-12 15:29:24
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
开集恒为Borel集，Borel集恒为可测集，两个可测集的交还是可测集，这些都是常识，对于E∩G的可测性还有疑问吗？
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6楼2011-01-12 15:56:43
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
麻烦Pchief大虾仔细看下定理1 的证明过程。如果按你说的，E(f 整个定理1的证明都是在证明E(f引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-12 15:56:43:
开集恒为Borel集，Borel集恒为可测集，两个可测集的交还是可测集，这些都是常识，对于E∩G的可测性还有疑问吗？

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7楼2011-01-12 16:20:08
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+4): 2011-01-12 17:19:15
你还是没说清你的疑问所在，这么说吧：你所不明白的地方是（请选择）

（1）为什么会存在开集 G 使得 E {f （2）为什么E∩G是一个可测集，还是
（3）以上两者兼有，或者是
（4）其他地方。

先选择一个，我才好有针对性的回答。
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8楼2011-01-12 16:41:02
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
我的疑问是为什么用 E∩G 来证明 E {f 证明中当证明了 E {f引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-12 16:41:02:
你还是没说清你的疑问所在，这么说吧：你所不明白的地方是（请选择）

（1）为什么会存在开集 G 使得 E {f （2）为什么E∩G是一个可测集，还是
（3）以上两者兼有，或者是
（4）其他地方 ...

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9楼2011-01-12 16:59:49
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+4): 2011-01-12 17:58:00
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-12 16:59:49:
我的疑问是为什么用 E∩G 来证明 E {f 证明中当证明了 E {f

引入开集 G， 把可测性未知的 E {f思路是基于连续函数的另一定义，即如果“开集的原象是开集”，则函数 f 称为是连续的。这种定义是 拓扑学 上采用的定义。当然这个定义跟分析学中ε-δ定义等价，但这里我们不去详细验证。于是，站在拓扑学的观点上看，这个命题就是无比显然的：区间(-∞, a)显然是一个开集，而集合 E {f相对于 E 的开集。在拓扑学中，相对于某个子集的开集这一概念指的正是该子集与全空间的某个开集的交集，所以自然有 E {f
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10楼2011-01-12 17:45:32
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
没有太看明白..
E {f 为什么E∩G可测性明显是可测集?
我没有明显看出来,E∩G一定是可测集吗?
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-12 17:45:32:


引入开集 G， 把可测性未知的 E {f思路是基于连续函数的另一定义，即如果“开集的原象是开集”，则函数 f 称为是连续的。这种定义是 拓扑学 上采用的定义 ...

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11楼2011-01-12 17:57:29
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
E∩G可测的理由见6楼
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12楼2011-01-12 17:59:31
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
G为可测集,两个可测集的交还是可测集，但是E的可测性未知,
E∩G的可测吗？
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-12 15:56:43:
开集恒为Borel集，Borel集恒为可测集，两个可测集的交还是可测集，这些都是常识，对于E∩G的可测性还有疑问吗？

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13楼2011-01-12 18:02:05
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
我明白了，E（f 所以需要证明E（f引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-12 18:02:05:
G为可测集,两个可测集的交还是可测集，但是E的可测性未知,
E∩G的可测吗？
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14楼2011-01-12 18:04:54
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+6): 2011-01-12 20:59:52
E 的可测性是题设。
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15楼2011-01-12 18:26:07
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hill008

金虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+1): 2011-01-12 20:59:58
人家是在证明f连续则必Lebesgue可测。
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16楼2011-01-12 20:27:51
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