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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】懂拓扑的请进
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swim8568

木虫 (小有名气)

[交流] 【求助】懂拓扑的请进 已有4人参与

本人初学拓扑理论！有个基本问题没搞清楚想咨询下各位前辈！
关于拓扑基的问题，看了几本书的定义，但还是没搞清楚！

举个具体的例子!
设集合X={1,2,3}，T为X上的一个拓扑，T= {1},{1,2} （即T中有两个以X的元素构成的集合）
则可以说 （X + T +空集）为一个拓扑空间
这个拓扑空间即为：{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合

请问，在这个拓扑空间中，他的基是什么？

若有表达不清的地方，请指教
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1楼 2010-10-18 10:03:46
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+3): 2010-10-18 10:40:53
这个拓扑的基就是它本身啊

[ Last edited by just_play on 2010-10-19 at 21:04 ]
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2楼2010-10-18 10:35:30
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swim8568

木虫 (小有名气)
就是说
（X + T +空集）这个拓扑空间的基是：
{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合

是这个意思么？

能否举一个拓扑空间的基，不是其本身的例子？
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3楼2010-10-18 10:42:15
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+7):有助于理解！十分感谢 2010-10-18 11:16:45
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-18 10:42:15:
就是说
（X + T +空集）这个拓扑空间的基是：
{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合

是这个意思么？

能否举一个拓扑空间的基，不是其本身的例子？

是啊，按照基的定义，拓扑就是基中元素所有可能的并放到一起所生成的集族。

基不是拓扑本身的例子：以空集，{1}，{2}，{3}为基，可生成拓扑：空集，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}

[ Last edited by just_play on 2010-10-19 at 21:04 ]
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4楼2010-10-18 10:56:46
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swim8568

木虫 (小有名气)

再次咨询

这么说：
拓扑空间：{1,2}  {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 空集
的基是   :{1,2}  {2} {3} {2,3} 空集

没算错吧？just_play

另外，在这个拓扑空间里面
{1,2} {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 都是开集吧！这里有哪些能称为闭集么？
或者举个能拓扑空间里面即有开集又有闭集的例子（最好是点集的例子，比较好理解）

PS：希望能够获得你的解答，分数不够我会添加的！谢谢

[ Last edited by swim8568 on 2010-10-18 at 11:42 ]
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5楼2010-10-18 11:29:08
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+10):十分感谢！茅舍顿开！ 2010-10-18 11:59:54
swim8568(金币+5): 2010-10-19 17:02:12
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-18 11:29:08:
这么说：
拓扑空间：{1,2}  {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 空集
的基是   :{1,2}  {2} {3} {2,3} 空集

没算错吧？just_play

另外，在这个拓扑空间里面
{1,2} {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 都是开集吧！这里有哪 ...

拓扑中的元素定义为开集，闭集则定义为开集在X中的补集，所以在上面我的例子中所有的集合都既是开集又是闭集(X={1,2,3})。

而在你问的这个拓扑：{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合

按照定义{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合 是开集，它们各自在X={1,2,3}中的补集：空集，{2,3},{3},{1,2,3}就是闭集了

[ Last edited by just_play on 2010-10-19 at 21:13 ]
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6楼2010-10-18 11:56:55
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swim8568

木虫 (小有名气)
又出现一个问题！
如果说在拓扑空间：{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合
中：，{2,3},{3},{1,2,3}就是闭集

那请问：{2,3}的极限点是哪个？2和3？

按照极限的定义：(X,T)为一个拓扑空间，若y属于X，A属于X，如果y的每个领域中都有A的异于y的点，称y为A的极限点！

[ Last edited by swim8568 on 2010-10-19 at 13:45 ]
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7楼2010-10-19 13:43:36
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+10): 2010-10-19 17:23:34
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 13:43:36:
又出现一个问题！
如果说在拓扑空间：{1,2,3} , {1},  {1,2} ,空集合
中：，{2,3},{3},{1,2,3}就是闭集

那请问：{2,3}的极限点是哪个？2和3？

按照极限的定义：(X,T)为一个拓扑空间，若y属于X，A属于X，如 ...

这里可以把每个点的所有邻域都写出来：
1的邻域：{1}，{1，2}，{1，2，3}
2的邻域是：{1，2}，{1，2，3}
3的邻域：{1，2，3}

这样按照极限点的定义你的问题的答案就很清楚了：{2，3}的极限点是3

[ Last edited by just_play on 2010-10-19 at 21:05 ]
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8楼2010-10-19 17:07:36
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swim8568

木虫 (小有名气)
这么说
闭集{1,2,3}的极限点只是2.3。
那闭集{3}的极限点好像不存在啊！那{3}为什么还是以个闭集呢？
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9楼2010-10-19 17:47:53
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+10): 2010-10-19 18:15:14
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 17:47:53:
这么说
闭集{1,2,3}的极限点只是2.3。
那闭集{3}的极限点好像不存在啊！那{3}为什么还是以个闭集呢？

一个集合是闭集的一个等价的条件是它要包含由自己的所有极限点所组成的集合，在这里{3}的所有极限点所组成的集合是空集，而空集当然包含于{3}中，所以{3}是闭集。
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10楼2010-10-19 18:01:06
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