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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】懂拓扑的请进
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swim8568

木虫 (小有名气)
能否举个两个拓扑空间（点集）的同胚例子？

差不多快搞清楚拓扑的几个基本含义了
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11楼2010-10-19 18:20:30
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★
swim8568(金币+1):谢谢参与
swim8568(金币+10): 2010-10-19 19:32:40
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 18:20:30:
能否举个两个拓扑空间（点集）的同胚例子？

差不多快搞清楚拓扑的几个基本含义了

有限点集？

比如X={1,2,3} Y={a,b,c}，将X,Y上的拓扑都取为分立拓扑(即将拓扑取为全部子集所组成的集族)，则在这一拓扑下X,Y之间的任意双射都是同胚映射，故拓扑空间X,Y同胚
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So Trivial !
12楼2010-10-19 18:42:41
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swim8568

木虫 (小有名气)
能够理解，但突然又找不到反例了！就
X={1,2,3} Y={a,b,c}，能否举个反例？（即X,Y的拓扑空间，但不同胚的，最好不要太特殊的例子）

PS：打扰你一整天了，实在不好意思！鄙人不是学数学专业的，最近被迫学拓扑，入门非常困难！所以才一大堆基本概念没搞清楚！十分感谢您的解答，非常精辟和到位。
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13楼2010-10-19 19:46:02
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+10): 2010-10-19 20:12:58
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 19:46:02:
能够理解，但突然又找不到反例了！就
X={1,2,3} Y={a,b,c}，能否举个反例？（即X,Y的拓扑空间，但不同胚的，最好不要太特殊的例子）

PS：打扰你一整天了，实在不好意思！鄙人不是学数学专业的，最近被迫学拓扑 ...

不同胚的例子：X={1,2,3}上的拓扑取为你一直所考虑的：{1,2}  {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 空集；Y的拓扑取为由{a,b,c}生成的分立拓扑，则X和Y不同胚(对于Y到X的任意双射f：Y->X，其本身一定是连续的，但其逆必不连续)

PS:我也不是数学专业的，是出于兴趣自学了一点点集拓扑的皮毛而已，幸好你问的这些都是基本概念，要是深入些我就爱莫能助啦

[ Last edited by just_play on 2010-10-19 at 20:17 ]
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So Trivial !
14楼2010-10-19 20:01:40
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swim8568

木虫 (小有名气)
是否可以理解为：Y的元素比X的元素多，经过Y->X的映射过程，集合被压缩了，也就改变了原来的结构关系？
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15楼2010-10-19 20:26:17
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
swim8568(金币+4): 2010-10-19 20:46:08
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 20:26:17:
是否可以理解为：Y的元素比X的元素多，经过Y->X的映射过程，集合被压缩了，也就改变了原来的结构关系？

上面那个反例里X和Y的元素都是3个，所以不是这样理解的。

它们不同胚的原因在于它们的拓扑结构不同
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So Trivial !
16楼2010-10-19 20:41:23
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swim8568

木虫 (小有名气)
茅塞顿开
茅塞顿开
茅塞顿开
茅塞顿开
茅塞顿开
茅塞顿开

[ Last edited by swim8568 on 2010-10-19 at 20:57 ]
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17楼2010-10-19 20:51:35
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swim8568

木虫 (小有名气)
是否应该这么理解
f(x)=y中
如果
f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c

因为1在X中的这个拓扑结构中：{1,2}  {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 空集
不是一个开集。
所以X->Y的映射就不连续！所以两者不是同胚！
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18楼2010-10-19 20:54:30
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
小雨萌萌(金币+2):3Q~ 2010-10-28 18:12:18
wuguocheng(数学EPI+1):不错. 挺好. 2010-10-28 20:14:44
wuguocheng(数学EPI+1):表彰贡献, 奖励2个epi 2010-10-28 20:15:05
引用回帖:
Originally posted by swim8568 at 2010-10-19 20:54:30:
是否应该这么理解
f(x)=y中
如果
f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c

因为1在X中的这个拓扑结构中：{1,2}  {2,3}  {2}  {3}  {1,2,3} 空集
不是一个开集。
所以X->Y的映射就不连续！所以两者不是同胚！

是这样的，而且任一个双射都会有这样的问题，所以不存在同胚映射

PS:发现前面我的一些回帖中把拓扑(X上的开集族)和拓扑空间X两个术语混了，已经纠正了，希望没误导你。
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So Trivial !
19楼2010-10-19 21:03:00
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swim8568

木虫 (小有名气)
拓扑空间是包含了拓扑结构的一个空间
拓扑只表示某种集合的组合方式！

差不多这样吧
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20楼2010-10-19 21:08:35
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