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zslfw5222

新虫 (小有名气)

[交流] 【求助】 矩阵的特征值问题 已有3人参与

设B是一个n阶的复数矩阵,  B^*表B的共轭, 问:BB^*的特征值是否只能是实数或者共轭成对出现?如果上述的结论成立,有没有书上提到过这个结果?应该怎么证明?
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

★ ★ ★ ★
zslfw5222(金币+5):非常感谢 2010-06-19 15:04:55
Doctorcbw(金币+4):谢谢参与 2010-06-19 17:42:55
bluesine(数学EPI+1): 2010-06-20 11:13:04
抱歉,我刚才又想了一下,发现还真的可以证明如下结论:



证明方法有两种





[ Last edited by Pchief on 2010-6-19 at 14:50 ]
4楼2010-06-19 13:18:28
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

zslfw5222(金币+1): 2010-06-19 15:06:19
如果 B^* 只是表示 B 的共轭(各元素取共轭复数),那么关于 BB^* 的特征值,并没有什么特别的结论。

而如果  B^* 表示 B 的共轭转置(各元素取共轭复数、再将整个矩阵转置),则可以证明:BB^* 的特征值都是非负实数。

[ Last edited by Pchief on 2010-6-19 at 12:06 ]
2楼2010-06-19 12:04:17
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

zslfw5222(金币+2):谢谢参与 2010-06-19 14:54:44
3楼2010-06-19 12:24:22
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joyfox

金虫 (正式写手)


zslfw5222(金币+2):谢谢参与 2010-06-19 14:55:30
Doctorcbw(金币+1):谢谢参与 2010-06-19 17:43:09
如果B是对称矩阵,BB^*是Hermitian matrix,特征值为实数,在对称的情况下,就是楼上所说的共轭转置,特征值为非负

[ Last edited by joyfox on 2010-6-19 at 13:58 ]
5楼2010-06-19 13:55:49
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