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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】 矩阵的特征值问题
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zslfw5222

新虫 (小有名气)

[交流] 【求助】 矩阵的特征值问题 已有3人参与

设B是一个n阶的复数矩阵,  B^*表B的共轭, 问：BB^*的特征值是否只能是实数或者共轭成对出现？如果上述的结论成立，有没有书上提到过这个结果？应该怎么证明？
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1楼 2010-06-19 10:38:43
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
zslfw5222(金币+1): 2010-06-19 15:06:19
如果 B^* 只是表示 B 的共轭（各元素取共轭复数），那么关于 BB^* 的特征值，并没有什么特别的结论。

而如果  B^* 表示 B 的共轭转置（各元素取共轭复数、再将整个矩阵转置），则可以证明：BB^* 的特征值都是非负实数。

[ Last edited by Pchief on 2010-6-19 at 12:06 ]
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2楼2010-06-19 12:04:17
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
zslfw5222(金币+2):谢谢参与 2010-06-19 14:54:44
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3楼2010-06-19 12:24:22
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
zslfw5222(金币+5):非常感谢 2010-06-19 15:04:55
Doctorcbw(金币+4):谢谢参与 2010-06-19 17:42:55
bluesine(数学EPI+1): 2010-06-20 11:13:04
抱歉，我刚才又想了一下，发现还真的可以证明如下结论：



证明方法有两种





[ Last edited by Pchief on 2010-6-19 at 14:50 ]
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4楼2010-06-19 13:18:28
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joyfox

金虫 (正式写手)
★
zslfw5222(金币+2):谢谢参与 2010-06-19 14:55:30
Doctorcbw(金币+1):谢谢参与 2010-06-19 17:43:09
如果B是对称矩阵，BB^*是Hermitian matrix，特征值为实数，在对称的情况下，就是楼上所说的共轭转置，特征值为非负

[ Last edited by joyfox on 2010-6-19 at 13:58 ]
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5楼2010-06-19 13:55:49
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
根据４楼的结论，Ｂ（Ｂ轭）的特征值或者为实数，或者为共轭成对出现的复数，这个结论是正确的（这里的（Ｂ轭）仅仅是对Ｂ的各个元素取共轭，而不是Ｂ的共轭转置）

[ Last edited by Pchief on 2010-6-19 at 14:24 ]
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6楼2010-06-19 14:03:16
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zslfw5222

新虫 (小有名气)
非常感谢楼上各位的参与
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7楼2010-06-19 15:34:09
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