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yang05052002

木虫 (正式写手)

[求助] 计算一个行列式 已有1人参与

如图,请问这个行列式怎么算?

计算一个行列式


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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

见图,再往下算就是按第一行展开,每一项的范德蒙行列式均可算
计算一个行列式-1



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» 本帖已获得的红花(最新10朵)

2楼2016-05-31 11:56:27
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普通回帖

yang05052002

木虫 (正式写手)

送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-31 11:56:27
见图,再往下算就是按第一行展开,每一项的范德蒙行列式均可算

谢谢

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3楼2016-05-31 13:16:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
yang05052002: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-05-31 22:16:43
yang05052002: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-06-01 09:43:11
引用回帖:
3楼: Originally posted by yang05052002 at 2016-05-31 13:16:50
谢谢
...

楼主, 你最后算出来行列式是不是等于



我只验证了n=1,2时的情形,思路是尽量利用范德蒙行列式,如 @gold2007 所指出的。

(1) 设行列式为f(x1,..,xn), 那么f 将是 反对称 (指 f(..., xi,...,xj,...)= - f(...,xj,...,xi,...)), 对每个变量xi 都是n次 的多元多项式, 并且由 xi=xj 时行列式为0 知道 范德蒙行列式 整除 f.

(2)考虑 , 它将是 每个 xi 的 1 次多项式。 因为反对称性质已经被范德蒙行列式 实现, 所以 g 本身还是 关于x1,..,xn的 对称多项式。 这样一来,选择的余地基本上很小了。

(3)依然由范德蒙行列式, 可以直接读出f的两个特殊值。

  推出

推出 ,

于是对 x1的1 次多项式(即线性)g 在x1=0 和 x1=1出展开, 得到

We_must_know. We_will_know.
4楼2016-05-31 21:49:35
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yang05052002

木虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 21:49:35
楼主, 你最后算出来行列式是不是等于

(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)

我只验证了n=1,2时的情形,思路是尽量利用范德蒙行列式,如 gold2007 所指出 ...

我没算出来。你的解法我看晕了(⊙o⊙)…。明天再看看。

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5楼2016-05-31 22:16:24
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 21:49:35
楼主, 你最后算出来行列式是不是等于

(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)

我只验证了n=1,2时的情形,思路是尽量利用范德蒙行列式,如 gold2007 所指出 ...

我只能说,这个解法具有一般性而且太巧妙了,谢谢分享。

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6楼2016-05-31 22:45:55
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
6楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-31 22:45:55
我只能说,这个解法具有一般性而且太巧妙了,谢谢分享。
...

这其实是我的缺点啊:我的计算能力很差,相比现在版主 Edstrayer, 前版主 feixiaolin 以及其他大神诸如 i维数,peterflyer 等直接暴力破解得到答案,我只能根据现成结论拼拼凑凑,尽量规避具体运算,所谓因人成事。

归根到底还是硬分析能力欠缺啊.

话说回来,上面帖子中g(1,x2,...,Xn)的计算有误,漏了一个因子2,不知你有没有注意到?

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We_must_know. We_will_know.
7楼2016-05-31 23:00:45
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 23:00:45
这其实是我的缺点啊:我的计算能力很差,相比现在版主 Edstrayer, 前版主 feixiaolin 以及其他大神诸如 i维数,peterflyer 等直接暴力破解得到答案,我只能根据现成结论拼拼凑凑,尽量规避具体运算,所谓因人成事。 ...

这样的能力比硬分析还可怕。。。
没注意系数,看了下思路,完全正确,那么那些枝节就不重要了。

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8楼2016-05-31 23:15:19
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yang05052002

木虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 21:49:35
楼主, 你最后算出来行列式是不是等于

(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)

我只验证了n=1,2时的情形,思路是尽量利用范德蒙行列式,如 gold2007 所指出 ...

两个地方没看懂。
第(2),每个xi都是一次,为什么。
第(3),f(0...),f(1...)怎么算出来的。
谢谢!

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心地清静,自然而然;胸襟宽广,包容万物!
9楼2016-06-01 00:48:11
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
9楼: Originally posted by yang05052002 at 2016-06-01 00:48:11
两个地方没看懂。
第(2),每个xi都是一次,为什么。
第(3),f(0...),f(1...)怎么算出来的。
谢谢!
...

你的问题还真的很难回答, 因为我自己几乎不计算,都是套用别人的结果...

(2) 由行列式的标准定义式, https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
(利用n阶置换群的那个求和式) 知道 f对每一个 xi (把其它的xj当成常数)都是n次多项式, 那它除以一个 (n-1)次的多项式 (范德蒙行列式对每个xi都是(n-1)次的), 岂不是恰好是一次(线性)的么(对每一个xi来说)?

(3), 你在你最初的行列式中, 让 x1=0, 于是第一列全是1, 其它列再减去第一列, 成为譬如 . 于是你可以看出,
整除这个行列式 (这是因为, 当 x_j=0 或 xj=xk 时, 行列式明显为零).

现在, 你考虑  行列式除以 这个因子, 你会发现, 除完以后的多项式次数为零, 也就是说, 它是个常数.

然后, 你比较这个项的系数: , 在乘积中 系数明显是1, 而在行列式中, 只能够通过 对角线元素乘起来才能得到, 所以系数也是1. 那么, 1除以1 就是那个常数, 所以得到了 f(0,...)的表达式.

f(1,...)其实是几乎一样的行列式, 除了第一列全是2. 你提出一个因子2以后, 就变成f(0,...)了.

很抱歉回答的很草率,给你添麻烦了.

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10楼2016-06-01 03:23:58
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