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行列式的计算
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一个函数u 的Hessian 矩阵的行列式，在高维极坐标系下如何表示？ 目前，我已算出来，2维和3维的情形， 我觉得这是已有的结论, 但我在网上没搜到， 望高手指点交流，谢谢！ 下面是我算出来的结论 $$ n=2, det(u_{ij})=u_{rr} u_r r^(-1) $$ $$ n=3, det(u_{ij})=u_{rr} (u_{r} r^(-1))^2. $$ 因此我猜想n维的情形应该是 $$det(u_{ij})=u_{rr} (u_{r} r^{-1})^ (n-1) $$ |
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2楼2013-11-24 15:16:21
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
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- 专业: 理论和计算化学
【答案】应助回帖
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xuruiwei: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 我完全用极坐标表示了HESSIAN矩阵，计算量比较大，路子走弯了。谢谢！ 2013-11-27 09:54:01
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楼主的猜想完全正确,归纳能力超强. 分析如下. 由于函数是径向对称, 所以只有∂u/∂r=u_r非零, 其他对角度的偏导通通为零. 由于r^2=x1^2+..+xn^2, 所以∂r/(∂x_i )= xi/r, 因此∂u/(∂x_i )=U_r* ∂r/(∂x_i )=Ur*xi/r. 当i≠j时, (∂^2 u)/(∂x_i ∂x_j )=x_i*(U_rr/r-U_r/r^2 )*x_j/r=(U_rr-U_r/r)*(x_i x_j)/r^2 ; 当i=j时, (∂^2 u)/(∂〖x_i〗^2 )=(U_rr-U_r/r)*(x_i^2)/r^2 +U_r/r. 所以Hessian矩阵可以每一行提出公因子(U_rr-U_r/r),剩下方阵B: 非对角线是(x_i x_j)/r^2 , 对角线是(x_i^2)/r^2 加上(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) ). 要计算方阵B 的行列式, 只要看看 B - (U_r/r)/((U_rr-U_r/r) )*Id 的特征值就好了. 这个方阵之差是个Rank=1的方阵, 它可以写成: X^T(转置) * X, 其中 X=(x_1/r,...,x_n/r). 所以这个差方阵一定有(n-1)个特征值为零, 剩下一个特征值为它的Trace,就是(x_i^2)/r^2 之和, 刚好为1. 所以B的特征值由(n-1)重(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) ),和1重 1+(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) )组成. 现在把公因子(U_rr-U_r/r)乘回去, 可以直接看到Hessian矩阵的特征值由(n-1)重U_r/r,和1重U_rr组成. 这就是楼主早就发现的规律 Det(Hessian)= Urr*(U_r/r)^(n-1). |
3楼2013-11-27 07:34:29
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