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yang05052002

木虫 (正式写手)

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[求助] 计算一个行列式已有1人参与

如图，请问这个行列式怎么算?

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1楼2016-05-31 10:09:41

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yang05052002: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-05-31 22:16:43
yang05052002: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-06-01 09:43:11

引用回帖:

3楼: Originally posted by yang05052002 at 2016-05-31 13:16:50
谢谢
...

楼主，你最后算出来行列式是不是等于

$(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$

我只验证了n=1,2时的情形，思路是尽量利用范德蒙行列式，如 @gold2007 所指出的。

(1) 设行列式为f(x1,..,xn), 那么f 将是反对称 (指 f(..., xi,...,xj,...)= - f(...,xj,...,xi,...)), 对每个变量xi 都是n次的多元多项式，并且由 xi=xj 时行列式为0 知道范德蒙行列式 $\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$ 整除 f.

(2)考虑 $g(x_1,..,x_n)=\frac{f}{\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)}$ , 它将是每个 xi 的 1 次多项式。因为反对称性质已经被范德蒙行列式 $\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$ 实现，所以 g 本身还是关于x1,..,xn的对称多项式。这样一来，选择的余地基本上很小了。

(3)依然由范德蒙行列式，可以直接读出f的两个特殊值。

$f(0,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n(x_k-1)\cdot \prod_{k=2}^n x_k \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 推出 $g(0,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n(x_k-1)$

$f(1,x_2,...,x_n)=2\cdot \prod_{k=2}^n(x_k-1)\cdot \prod_{k=2}^n x_k \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 推出 $g(1,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n x_k$ ,

于是对 x1的1 次多项式（即线性）g 在x1=0 和 x1=1出展开，得到

$g(x_1,...,x_n)=x_1g(1,x_2,...,x_n)-(x_1-1)g(0,x_2,...,x_n)=2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1)$

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We_must_know. We_will_know.

4楼2016-05-31 21:49:35

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hank612

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6楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-31 22:45:55
我只能说，这个解法具有一般性而且太巧妙了，谢谢分享。
...

这其实是我的缺点啊：我的计算能力很差，相比现在版主 Edstrayer, 前版主 feixiaolin 以及其他大神诸如 i维数，peterflyer 等直接暴力破解得到答案，我只能根据现成结论拼拼凑凑，尽量规避具体运算，所谓因人成事。

归根到底还是硬分析能力欠缺啊.

话说回来，上面帖子中g(1,x2,...,Xn)的计算有误，漏了一个因子2，不知你有没有注意到？

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We_must_know. We_will_know.

7楼2016-05-31 23:00:45

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hank612

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9楼: Originally posted by yang05052002 at 2016-06-01 00:48:11
两个地方没看懂。
第(2)，每个xi都是一次，为什么。
第(3)，f(0...)，f(1...)怎么算出来的。
谢谢！
...

你的问题还真的很难回答, 因为我自己几乎不计算,都是套用别人的结果...

(2) 由行列式的标准定义式, https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
(利用n阶置换群的那个求和式) 知道 f对每一个 xi (把其它的xj当成常数)都是n次多项式, 那它除以一个 (n-1)次的多项式 (范德蒙行列式对每个xi都是(n-1)次的), 岂不是恰好是一次(线性)的么(对每一个xi来说)?

(3), 你在你最初的行列式中, 让 x1=0, 于是第一列全是1, 其它列再减去第一列, 成为譬如 $(x_2 x_2^2 \dots x_2^n)^T$ . 于是你可以看出,
$\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 整除这个行列式 (这是因为, 当 x_j=0 或 xj=xk 时, 行列式明显为零).

现在, 你考虑行列式除以 $\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 这个因子, 你会发现, 除完以后的多项式次数为零, 也就是说, 它是个常数.

然后, 你比较这个项的系数: $1\cdot x_1\cdot x_2^2 \dots x_n^n$ , 在乘积 $\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 中系数明显是1, 而在行列式中, 只能够通过对角线元素乘起来才能得到, 所以系数也是1. 那么, 1除以1 就是那个常数, 所以得到了 f(0,...)的表达式.

f(1,...)其实是几乎一样的行列式, 除了第一列全是2. 你提出一个因子2以后, 就变成f(0,...)了.

很抱歉回答的很草率,给你添麻烦了.

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yang05052002

We_must_know. We_will_know.

10楼2016-06-01 03:23:58

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