版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 关于一道积分不等式的猜想

如图。第一，第四个可以验证他们的大小关系，其余的就不会了。请大神看看猜想是否正确，怎么证明？谢谢！

猜想积分不等式.png

回复此楼

» 猜你喜欢

售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急已经有4人回复
有多少人是今天查系统知道结果的？已经有17人回复
面上合作单位盖章已经有5人回复
为什么资助数各大高校都创新高，自己申请怎么就这么难已经有8人回复
导师吐槽：我怎么摊上了这么个极品研究生！已经有7人回复
申请删除本帖已经有7人回复
基金不中，共勉已经有10人回复
国自然面上复盘~欢迎讨论已经有11人回复
基金未中，这种答复是模板吗？已经有6人回复
看板上这么多中的，有点像50人群里49个人都是骗子的那种感觉…… 已经有6人回复

1楼 2016-02-28 14:08:25

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我们有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

对n=2成立。

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-29 01:31:15

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此证明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等价于证明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-02-29 02:14:39

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

然后又要怎么证明呢？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

赞一下

回复此楼

4楼2016-02-29 08:55:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

4楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么证明呢？

化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2016-03-01 00:28:01

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

5楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-01 00:28:01
化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？...

我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n+1)^n/n!<(e^(n+1))/2.不知这样是否好证

赞一下

回复此楼

6楼2016-03-01 00:42:03

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

6楼: Originally posted by i维数 at 2016-03-01 00:42:03
我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n ...

我试试

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2016-03-01 00:53:01

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某个不等式：
若 $\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}+\theta(n)\frac{n^n}{n!}$ , 则有
$\frac{1}{3}\leq \theta(n)\leq \frac{1}{2}$

上文作者 K.P. Choi 证明了图片中的结论，这基本上就可以推出 @i维数的三个不等式。具体推导我尚未完成，楼主不妨花点时间写一下。

Emuch027 median of gamma distribution.png

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

8楼2016-07-08 12:37:34

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

8楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 12:37:34
http://www.ams.org/journals/proc/1994-121-01/S0002-9939-1994-1195477-8/S0002-9939-1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某个不等式：
若\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac ...

非常感谢hank612大神！

不等式证明.png

赞一下

回复此楼

9楼2016-07-12 01:04:05

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 i维数的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[教师之家] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	XLGfUIdOmEAO 2026-08-27	4/200	2026-08-27 22:26 by 3RAFyYXYSwGS
[基金申请] 面上合作单位盖章 +5	ssyjh 2026-08-27	5/250	2026-08-27 20:50 by gdfollow
[基金申请] 为什么资助数各大高校都创新高，自己申请怎么就这么难 +8	Kittylucky 2026-08-27	8/400	2026-08-27 18:33 by raiy123
[基金申请] 看板上这么多中的，有点像50人群里49个人都是骗子的那种感觉…… +5	a089 2026-08-26	6/300	2026-08-27 14:05 by jonewore
[基金申请] 为什么国际(地区)合作与交流项目没有放榜？ 10+3	majunge000 2026-08-26	11/550	2026-08-27 08:42 by 北京莱茵编辑
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	LIbGuocjEEYw 2026-08-26	4/200	2026-08-27 02:01 by Ie9AyIAvGbvs
[基金申请] 怎么查啊 +5	huang1991js 2026-08-26	5/250	2026-08-26 16:09 by Equinoxhua
[基金申请] 2026国自然函评费到账 +22	羊腰板 2026-08-21	25/1250	2026-08-26 15:00 by zuocuiping
[基金申请] 能否退出参与的面上项目解除限项 +23	koalala 2026-08-24	26/1300	2026-08-26 14:29 by 宝贝虫子
[基金申请] 出来了 +9	trojank 2026-08-26	9/450	2026-08-26 14:25 by 宝贝虫子
[基金申请] 哪位高人中了，把查询到的截图贴出来让我看看，让我长长见识 +4	yuleib84 2026-08-26	5/250	2026-08-26 13:40 by yuleib84
[基金申请] 国际合作可查了，中了面上 (EPI+1)(金币+50) +18	Ldrop2023 2026-08-26	18/900	2026-08-26 11:15 by cmrandy
[基金申请] 国合可查了 +3	paperzjh 2026-08-26	3/150	2026-08-26 10:41 by LemmonTr
[基金申请] 今天务委会开完了，明天出结果吗 +19	angus9576 2026-08-25	23/1150	2026-08-26 10:03 by zp519
[基金申请] 牛来！米来！面来！ +8	beefly 2026-08-26	8/400	2026-08-26 08:37 by xuzhipiao
[基金申请] 在坚冰还盖着北海的时候，我看到了怒放的梅花。 (金币+10) +6	ziyangfang 2026-08-25	9/450	2026-08-25 20:26 by huagongfeihu
[基金申请] 明天应该可查了！？ +6	chengyan1220 2026-08-23	6/300	2026-08-25 19:45 by zfd97
[基金申请] 某些机构，以效率低为荣，以效率低作为存在感 +9	yuleib84 2026-08-25	10/500	2026-08-25 17:14 by alexon
[基金申请] 如果此刻你正在为国基感到焦虑，不妨来听听这首《基金之外》 +8	scalable 2026-08-24	8/400	2026-08-25 12:52 by jnhyjjm
[基金申请] 基金啊基金 +4	longfie172 2026-08-20	4/200	2026-08-21 08:58 by mark mao