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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于一道积分不等式的猜想
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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 关于一道积分不等式的猜想

如图。第一，第四个可以验证他们的大小关系，其余的就不会了。请大神看看猜想是否正确，怎么证明？谢谢！

关于一道积分不等式的猜想
猜想 积分不等式.png
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1楼 2016-02-28 14:08:25
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
令，则有



但是，我们有不等式：


所以就有：


因此，不等式


对n=2成立。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-02-29 01:31:15
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
令，则有


所以就有：


于是就有：



因此证明不等式：


就等价于证明不等式
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2016-02-29 02:14:39
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i维数

木虫 (正式写手)
然后又要怎么证明呢？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2016-02-29 08:55:24
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
4楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么证明呢？

化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2016-03-01 00:28:01
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-01 00:28:01
化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？...

我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x)  0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n+1)^n/n!<(e^(n+1))/2.不知这样是否好证
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6楼2016-03-01 00:42:03
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
6楼: Originally posted by i维数 at 2016-03-01 00:42:03
我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x)  0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n ...

我试试
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2016-03-01 00:53:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻， 需要借助Ramanujan的某个不等式：
若, 则有


上文作者 K.P. Choi 证明了图片中的结论， 这基本上就可以推出 @i维数 的三个不等式。具体推导我尚未完成，楼主不妨花点时间写一下。
关于一道积分不等式的猜想-1
Emuch027 median of gamma distribution.png
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We_must_know. We_will_know.
8楼2016-07-08 12:37:34
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 12:37:34
http://www.ams.org/journals/proc/1994-121-01/S0002-9939-1994-1195477-8/S0002-9939-1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻， 需要借助Ramanujan的某个不等式：
若\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac ...

非常感谢hank612大神！
关于一道积分不等式的猜想-2
不等式证明.png
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9楼2016-07-12 01:04:05
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