[求助] 关于一道积分不等式的猜想

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1楼2016-02-28 14:08:25

Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我们有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

对n=2成立。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-29 01:31:15

Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此证明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等价于证明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-02-29 02:14:39

i维数

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然后又要怎么证明呢？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

4楼2016-02-29 08:55:24

Edstrayer

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4楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么证明呢？

化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2016-03-01 00:28:01

i维数

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5楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-01 00:28:01
化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？...

我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n+1)^n/n!<(e^(n+1))/2.不知这样是否好证

6楼2016-03-01 00:42:03

Edstrayer

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6楼: Originally posted by i维数 at 2016-03-01 00:42:03
我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n ...

我试试

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2016-03-01 00:53:01

hank612

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http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某个不等式：
若 $\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}+\theta(n)\frac{n^n}{n!}$ , 则有
$\frac{1}{3}\leq \theta(n)\leq \frac{1}{2}$

上文作者 K.P. Choi 证明了图片中的结论，这基本上就可以推出 @i维数的三个不等式。具体推导我尚未完成，楼主不妨花点时间写一下。

Emuch027 median of gamma distribution.png

We_must_know. We_will_know.

8楼2016-07-08 12:37:34

i维数

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8楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 12:37:34
http://www.ams.org/journals/proc/1994-121-01/S0002-9939-1994-1195477-8/S0002-9939-1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某个不等式：
若\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac ...

非常感谢hank612大神！

不等式证明.png

9楼2016-07-12 01:04:05